Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29142 / 14283
↖ ↑ ↗
← N 70.709027°
W 19.918213°		 ← 201.80 m → N 70.709027°
W 19.912720°		 →
↑
201.77 m
↓
↑
201.77 m
↓
N 70.707212°
W 19.918213°		 ← 201.82 m →
40 720 m²		 N 70.707212°
W 19.912720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444679260253906 y=0.217948913574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444679260253906 × 216)
    floor (0.444679260253906 × 65536)
    floor (29142.5)     		tx = 29142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217948913574219 × 216)
    floor (0.217948913574219 × 65536)
    floor (14283.5)     		ty = 14283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29142 / 14283 ti = "16/29142/14283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29142/14283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29142 ÷ 216
    29142 ÷ 65536     		x = 0.444671630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14283 ÷ 216
    14283 ÷ 65536     		y = 0.217941284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444671630859375 × 2 - 1) × π
    -0.11065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34763840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217941284179688 × 2 - 1) × π
    0.564117431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77222717895348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34763840} λ = -0.34763840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77222717895348))-π/2
    2×atan(5.88394337391733)-π/2
    2×1.4024508303832-π/2
    2.8049016607664-1.57079632675     		φ = 1.23410533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34763840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.918213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23410533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.709027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29142 KachelY 14283 -0.34763840 1.23410533 -19.918213 70.709027
    Oben rechts KachelX + 1 29143 KachelY 14283 -0.34754252 1.23410533 -19.912720 70.709027
    Unten links KachelX 29142 KachelY + 1 14284 -0.34763840 1.23407366 -19.918213 70.707212
    Unten rechts KachelX + 1 29143 KachelY + 1 14284 -0.34754252 1.23407366 -19.912720 70.707212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23410533-1.23407366) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dl = 201.76957000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23410533-1.23407366) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dr = 201.76957000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34763840--0.34754252) × cos(1.23410533) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.330365693866763 × 6371000     		do = 201.804373039723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34763840--0.34754252) × cos(1.23407366) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.330395585525972 × 6371000     		du = 201.822632403991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23410533)-sin(1.23407366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330365693866763-0.330395585525972)×R²
    abs(-0.34754252--0.34763840)×2.98916592094134e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.98916592094134e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.98916592094134e-05×40589641000000     		ar = 40719.8236678908m²