Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29139 / 43285
↖ ↑ ↗
← S 49.912325°
W 19.934693°		 ← 393.36 m → S 49.912325°
W 19.929199°		 →
↑
393.35 m
↓
↑
393.35 m
↓
S 49.915862°
W 19.934693°		 ← 393.33 m →
154 722 m²		 S 49.915862°
W 19.929199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444633483886719 y=0.660484313964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444633483886719 × 216)
    floor (0.444633483886719 × 65536)
    floor (29139.5)     		tx = 29139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660484313964844 × 216)
    floor (0.660484313964844 × 65536)
    floor (43285.5)     		ty = 43285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29139 / 43285 ti = "16/29139/43285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29139/43285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29139 ÷ 216
    29139 ÷ 65536     		x = 0.444625854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43285 ÷ 216
    43285 ÷ 65536     		y = 0.660476684570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444625854492188 × 2 - 1) × π
    -0.110748291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34792602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660476684570312 × 2 - 1) × π
    -0.320953369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00830474660826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34792602} λ = -0.34792602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00830474660826))-π/2
    2×atan(0.364836946689407)-π/2
    2×0.349830963452083-π/2
    0.699661926904165-1.57079632675     		φ = -0.87113440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34792602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.934693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87113440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.912325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29139 KachelY 43285 -0.34792602 -0.87113440 -19.934693 -49.912325
    Oben rechts KachelX + 1 29140 KachelY 43285 -0.34783014 -0.87113440 -19.929199 -49.912325
    Unten links KachelX 29139 KachelY + 1 43286 -0.34792602 -0.87119614 -19.934693 -49.915862
    Unten rechts KachelX + 1 29140 KachelY + 1 43286 -0.34783014 -0.87119614 -19.929199 -49.915862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87113440--0.87119614) × R
    6.17400000000323e-05 × 6371000     		dl = 393.345540000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87113440--0.87119614) × R
    6.17400000000323e-05 × 6371000     		dr = 393.345540000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34792602--0.34783014) × cos(-0.87113440) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.643959077778019 × 6371000     		do = 393.363355720108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34792602--0.34783014) × cos(-0.87119614) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.643911841750251 × 6371000     		du = 393.334501522636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87113440)-sin(-0.87119614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643959077778019-0.643911841750251)×R²
    abs(-0.34783014--0.34792602)×4.72360277683492e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72360277683492e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72360277683492e-05×40589641000000     		ar = 154722.046786402m²