Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29138 / 43282
↖ ↑ ↗
← S 49.901711°
W 19.940185°		 ← 393.41 m → S 49.901711°
W 19.934693°		 →
↑
393.41 m
↓
↑
393.41 m
↓
S 49.905249°
W 19.940185°		 ← 393.38 m →
154 765 m²		 S 49.905249°
W 19.934693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444618225097656 y=0.660438537597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444618225097656 × 216)
    floor (0.444618225097656 × 65536)
    floor (29138.5)     		tx = 29138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660438537597656 × 216)
    floor (0.660438537597656 × 65536)
    floor (43282.5)     		ty = 43282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29138 / 43282 ti = "16/29138/43282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29138/43282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29138 ÷ 216
    29138 ÷ 65536     		x = 0.444610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43282 ÷ 216
    43282 ÷ 65536     		y = 0.660430908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.11077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34802189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660430908203125 × 2 - 1) × π
    -0.32086181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00801712521054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34802189} λ = -0.34802189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00801712521054))-π/2
    2×atan(0.364941896694164)-π/2
    2×0.349923581846432-π/2
    0.699847163692864-1.57079632675     		φ = -0.87094916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34802189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.940185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87094916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.901711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29138 KachelY 43282 -0.34802189 -0.87094916 -19.940185 -49.901711
    Oben rechts KachelX + 1 29139 KachelY 43282 -0.34792602 -0.87094916 -19.934693 -49.901711
    Unten links KachelX 29138 KachelY + 1 43283 -0.34802189 -0.87101091 -19.940185 -49.905249
    Unten rechts KachelX + 1 29139 KachelY + 1 43283 -0.34792602 -0.87101091 -19.934693 -49.905249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87094916--0.87101091) × R
    6.17499999999715e-05 × 6371000     		dl = 393.409249999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87094916--0.87101091) × R
    6.17499999999715e-05 × 6371000     		dr = 393.409249999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34802189--0.34792602) × cos(-0.87094916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644100786431451 × 6371000     		do = 393.408882999703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34802189--0.34792602) × cos(-0.87101091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644053550119197 × 6371000     		du = 393.380031637879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87094916)-sin(-0.87101091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644100786431451-0.644053550119197)×R²
    abs(-0.34792602--0.34802189)×4.72363122540065e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72363122540065e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72363122540065e-05×40589641000000     		ar = 154765.018457297m²