Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29138 / 42887
↖ ↑ ↗
← S 48.483846°
W 19.940185°		 ← 404.85 m → S 48.483846°
W 19.934693°		 →
↑
404.88 m
↓
↑
404.88 m
↓
S 48.487487°
W 19.940185°		 ← 404.82 m →
163 908 m²		 S 48.487487°
W 19.934693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444618225097656 y=0.654411315917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444618225097656 × 216)
    floor (0.444618225097656 × 65536)
    floor (29138.5)     		tx = 29138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654411315917969 × 216)
    floor (0.654411315917969 × 65536)
    floor (42887.5)     		ty = 42887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29138 / 42887 ti = "16/29138/42887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29138/42887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29138 ÷ 216
    29138 ÷ 65536     		x = 0.444610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42887 ÷ 216
    42887 ÷ 65536     		y = 0.654403686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.11077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34802189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654403686523438 × 2 - 1) × π
    -0.308807373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.970146974510696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34802189} λ = -0.34802189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970146974510696))-π/2
    2×atan(0.379027326653542)-π/2
    2×0.362296793793196-π/2
    0.724593587586391-1.57079632675     		φ = -0.84620274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34802189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.940185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84620274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.483846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29138 KachelY 42887 -0.34802189 -0.84620274 -19.940185 -48.483846
    Oben rechts KachelX + 1 29139 KachelY 42887 -0.34792602 -0.84620274 -19.934693 -48.483846
    Unten links KachelX 29138 KachelY + 1 42888 -0.34802189 -0.84626629 -19.940185 -48.487487
    Unten rechts KachelX + 1 29139 KachelY + 1 42888 -0.34792602 -0.84626629 -19.934693 -48.487487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84620274--0.84626629) × R
    6.35500000000233e-05 × 6371000     		dl = 404.877050000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84620274--0.84626629) × R
    6.35500000000233e-05 × 6371000     		dr = 404.877050000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34802189--0.34792602) × cos(-0.84620274) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662831187857023 × 6371000     		do = 404.849183117634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34802189--0.34792602) × cos(-0.84626629) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662783602257093 × 6371000     		du = 404.820118415168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84620274)-sin(-0.84626629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662831187857023-0.662783602257093)×R²
    abs(-0.34792602--0.34802189)×4.75855999308994e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75855999308994e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75855999308994e-05×40589641000000     		ar = 163908.25919529m²