Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29138 / 19004
↖ ↑ ↗
← N 60.075803°
W 19.940185°		 ← 304.69 m → N 60.075803°
W 19.934693°		 →
↑
304.72 m
↓
↑
304.72 m
↓
N 60.073063°
W 19.940185°		 ← 304.72 m →
92 852 m²		 N 60.073063°
W 19.934693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444618225097656 y=0.289985656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444618225097656 × 216)
    floor (0.444618225097656 × 65536)
    floor (29138.5)     		tx = 29138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289985656738281 × 216)
    floor (0.289985656738281 × 65536)
    floor (19004.5)     		ty = 19004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29138 / 19004 ti = "16/29138/19004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29138/19004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29138 ÷ 216
    29138 ÷ 65536     		x = 0.444610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19004 ÷ 216
    19004 ÷ 65536     		y = 0.28997802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.11077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34802189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28997802734375 × 2 - 1) × π
    0.4200439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.31960697274091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34802189} λ = -0.34802189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31960697274091))-π/2
    2×atan(3.7419503997034)-π/2
    2×1.30965844865951-π/2
    2.61931689731902-1.57079632675     		φ = 1.04852057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34802189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.940185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04852057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.075803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29138 KachelY 19004 -0.34802189 1.04852057 -19.940185 60.075803
    Oben rechts KachelX + 1 29139 KachelY 19004 -0.34792602 1.04852057 -19.934693 60.075803
    Unten links KachelX 29138 KachelY + 1 19005 -0.34802189 1.04847274 -19.940185 60.073063
    Unten rechts KachelX + 1 29139 KachelY + 1 19005 -0.34792602 1.04847274 -19.934693 60.073063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04852057-1.04847274) × R
    4.7829999999971e-05 × 6371000     		dl = 304.724929999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04852057-1.04847274) × R
    4.7829999999971e-05 × 6371000     		dr = 304.724929999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34802189--0.34792602) × cos(1.04852057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.498853794846199 × 6371000     		do = 304.693796910141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34802189--0.34792602) × cos(1.04847274) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.498895247874363 × 6371000     		du = 304.719115912773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04852057)-sin(1.04847274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.498853794846199-0.498895247874363)×R²
    abs(-0.34792602--0.34802189)×4.14530281643843e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.14530281643843e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.14530281643843e-05×40589641000000     		ar = 92851.6536180791m²