Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29137 / 43313
↖ ↑ ↗
← S 50.011269°
W 19.945679°		 ← 392.56 m → S 50.011269°
W 19.940185°		 →
↑
392.52 m
↓
↑
392.52 m
↓
S 50.014799°
W 19.945679°		 ← 392.53 m →
154 079 m²		 S 50.014799°
W 19.940185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444602966308594 y=0.660911560058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444602966308594 × 216)
    floor (0.444602966308594 × 65536)
    floor (29137.5)     		tx = 29137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660911560058594 × 216)
    floor (0.660911560058594 × 65536)
    floor (43313.5)     		ty = 43313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29137 / 43313 ti = "16/29137/43313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29137/43313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29137 ÷ 216
    29137 ÷ 65536     		x = 0.444595336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43313 ÷ 216
    43313 ÷ 65536     		y = 0.660903930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444595336914062 × 2 - 1) × π
    -0.110809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34811777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660903930664062 × 2 - 1) × π
    -0.321807861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01098921298698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34811777} λ = -0.34811777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01098921298698))-π/2
    2×atan(0.363858867569925)-π/2
    2×0.348967507611687-π/2
    0.697935015223375-1.57079632675     		φ = -0.87286131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34811777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.945679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87286131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.011269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29137 KachelY 43313 -0.34811777 -0.87286131 -19.945679 -50.011269
    Oben rechts KachelX + 1 29138 KachelY 43313 -0.34802189 -0.87286131 -19.940185 -50.011269
    Unten links KachelX 29137 KachelY + 1 43314 -0.34811777 -0.87292292 -19.945679 -50.014799
    Unten rechts KachelX + 1 29138 KachelY + 1 43314 -0.34802189 -0.87292292 -19.940185 -50.014799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87286131--0.87292292) × R
    6.16100000000452e-05 × 6371000     		dl = 392.517310000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87286131--0.87292292) × R
    6.16100000000452e-05 × 6371000     		dr = 392.517310000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34811777--0.34802189) × cos(-0.87286131) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.642636928567099 × 6371000     		do = 392.555718917836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34811777--0.34802189) × cos(-0.87292292) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.642589723561134 × 6371000     		du = 392.52688367008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87286131)-sin(-0.87292292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642636928567099-0.642589723561134)×R²
    abs(-0.34802189--0.34811777)×4.72050059642237e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72050059642237e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72050059642237e-05×40589641000000     		ar = 154079.255696639m²