Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29136 / 43280
↖ ↑ ↗
← S 49.894634°
W 19.951172°		 ← 393.47 m → S 49.894634°
W 19.945679°		 →
↑
393.47 m
↓
↑
393.47 m
↓
S 49.898173°
W 19.951172°		 ← 393.44 m →
154 813 m²		 S 49.898173°
W 19.945679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444587707519531 y=0.660408020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444587707519531 × 216)
    floor (0.444587707519531 × 65536)
    floor (29136.5)     		tx = 29136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660408020019531 × 216)
    floor (0.660408020019531 × 65536)
    floor (43280.5)     		ty = 43280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29136 / 43280 ti = "16/29136/43280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29136/43280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29136 ÷ 216
    29136 ÷ 65536     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43280 ÷ 216
    43280 ÷ 65536     		y = 0.660400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660400390625 × 2 - 1) × π
    -0.32080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00782537761206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00782537761206))-π/2
    2×atan(0.365011880135804)-π/2
    2×0.34998533876454-π/2
    0.69997067752908-1.57079632675     		φ = -0.87082565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87082565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.894634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29136 KachelY 43280 -0.34821364 -0.87082565 -19.951172 -49.894634
    Oben rechts KachelX + 1 29137 KachelY 43280 -0.34811777 -0.87082565 -19.945679 -49.894634
    Unten links KachelX 29136 KachelY + 1 43281 -0.34821364 -0.87088741 -19.951172 -49.898173
    Unten rechts KachelX + 1 29137 KachelY + 1 43281 -0.34811777 -0.87088741 -19.945679 -49.898173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87082565--0.87088741) × R
    6.17600000000218e-05 × 6371000     		dl = 393.472960000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87082565--0.87088741) × R
    6.17600000000218e-05 × 6371000     		dr = 393.472960000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34811777) × cos(-0.87082565) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644195259336399 × 6371000     		do = 393.466585894642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34811777) × cos(-0.87088741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644148020287708 × 6371000     		du = 393.437732861435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87082565)-sin(-0.87088741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644195259336399-0.644148020287708)×R²
    abs(-0.34811777--0.34821364)×4.72390486916385e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72390486916385e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72390486916385e-05×40589641000000     		ar = 154812.785818061m²