Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29136 / 36528
↖ ↑ ↗
← N 62.042138°
W 99.975586°		 ← 143.19 m → N 62.042138°
W 99.972839°		 →
↑
143.22 m
↓
↑
143.22 m
↓
N 62.040850°
W 99.975586°		 ← 143.20 m →
20 508 m²		 N 62.040850°
W 99.972839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222293853759766 y=0.278690338134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222293853759766 × 217)
    floor (0.222293853759766 × 131072)
    floor (29136.5)     		tx = 29136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.278690338134766 × 217)
    floor (0.278690338134766 × 131072)
    floor (36528.5)     		ty = 36528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29136 / 36528 ti = "17/29136/36528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29136/36528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29136 ÷ 217
    29136 ÷ 131072     		x = 0.2222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36528 ÷ 217
    36528 ÷ 131072     		y = 0.2786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.74490315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2786865234375 × 2 - 1) × π
    0.442626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.39055358417859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74490315} λ = -1.74490315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39055358417859))-π/2
    2×atan(4.01707322576281)-π/2
    2×1.32681795234162-π/2
    2.65363590468325-1.57079632675     		φ = 1.08283958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74490315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.975586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08283958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.042138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29136 KachelY 36528 -1.74490315 1.08283958 -99.975586 62.042138
    Oben rechts KachelX + 1 29137 KachelY 36528 -1.74485521 1.08283958 -99.972839 62.042138
    Unten links KachelX 29136 KachelY + 1 36529 -1.74490315 1.08281710 -99.975586 62.040850
    Unten rechts KachelX + 1 29137 KachelY + 1 36529 -1.74485521 1.08281710 -99.972839 62.040850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08283958-1.08281710) × R
    2.24799999999359e-05 × 6371000     		dl = 143.220079999592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08283958-1.08281710) × R
    2.24799999999359e-05 × 6371000     		dr = 143.220079999592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74490315--1.74485521) × cos(1.08283958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468822077580445 × 6371000     		do = 143.190329973251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74490315--1.74485521) × cos(1.08281710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468841933880171 × 6371000     		du = 143.196394598288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08283958)-sin(1.08281710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468822077580445-0.468841933880171)×R²
    abs(-1.74485521--1.74490315)×1.9856299725618e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9856299725618e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9856299725618e-05×40589641000000     		ar = 20508.1648029152m²