Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29136 / 14611
↖ ↑ ↗
← N 70.104878°
W 19.951172°		 ← 207.85 m → N 70.104878°
W 19.945679°		 →
↑
207.89 m
↓
↑
207.89 m
↓
N 70.103008°
W 19.951172°		 ← 207.87 m →
43 211 m²		 N 70.103008°
W 19.945679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444587707519531 y=0.222953796386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444587707519531 × 216)
    floor (0.444587707519531 × 65536)
    floor (29136.5)     		tx = 29136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222953796386719 × 216)
    floor (0.222953796386719 × 65536)
    floor (14611.5)     		ty = 14611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29136 / 14611 ti = "16/29136/14611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29136/14611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29136 ÷ 216
    29136 ÷ 65536     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14611 ÷ 216
    14611 ÷ 65536     		y = 0.222946166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222946166992188 × 2 - 1) × π
    0.554107666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74078057280272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74078057280272))-π/2
    2×atan(5.70179235012547)-π/2
    2×1.39717863109649-π/2
    2.79435726219298-1.57079632675     		φ = 1.22356094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22356094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.104878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29136 KachelY 14611 -0.34821364 1.22356094 -19.951172 70.104878
    Oben rechts KachelX + 1 29137 KachelY 14611 -0.34811777 1.22356094 -19.945679 70.104878
    Unten links KachelX 29136 KachelY + 1 14612 -0.34821364 1.22352831 -19.951172 70.103008
    Unten rechts KachelX + 1 29137 KachelY + 1 14612 -0.34811777 1.22352831 -19.945679 70.103008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22356094-1.22352831) × R
    3.2629999999978e-05 × 6371000     		dl = 207.88572999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22356094-1.22352831) × R
    3.2629999999978e-05 × 6371000     		dr = 207.88572999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34811777) × cos(1.22356094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340299498159273 × 6371000     		do = 207.850771612817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34811777) × cos(1.22352831) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340330180525131 × 6371000     		du = 207.869512026638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22356094)-sin(1.22352831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340299498159273-0.340330180525131)×R²
    abs(-0.34811777--0.34821364)×3.06823658582922e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06823658582922e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06823658582922e-05×40589641000000     		ar = 43211.1573239808m²