Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29131 / 18067
↖ ↑ ↗
← N 62.545260°
W 19.978638°		 ← 281.63 m → N 62.545260°
W 19.973144°		 →
↑
281.60 m
↓
↑
281.60 m
↓
N 62.542728°
W 19.978638°		 ← 281.66 m →
79 310 m²		 N 62.542728°
W 19.973144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444511413574219 y=0.275688171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444511413574219 × 216)
    floor (0.444511413574219 × 65536)
    floor (29131.5)     		tx = 29131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275688171386719 × 216)
    floor (0.275688171386719 × 65536)
    floor (18067.5)     		ty = 18067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29131 / 18067 ti = "16/29131/18067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29131/18067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29131 ÷ 216
    29131 ÷ 65536     		x = 0.444503784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18067 ÷ 216
    18067 ÷ 65536     		y = 0.275680541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444503784179688 × 2 - 1) × π
    -0.110992431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34869301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275680541992188 × 2 - 1) × π
    0.448638916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40944072262889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34869301} λ = -0.34869301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40944072262889))-π/2
    2×atan(4.09366526937056)-π/2
    2×1.33120852347267-π/2
    2.66241704694534-1.57079632675     		φ = 1.09162072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34869301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.978638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09162072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.545260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29131 KachelY 18067 -0.34869301 1.09162072 -19.978638 62.545260
    Oben rechts KachelX + 1 29132 KachelY 18067 -0.34859713 1.09162072 -19.973144 62.545260
    Unten links KachelX 29131 KachelY + 1 18068 -0.34869301 1.09157652 -19.978638 62.542728
    Unten rechts KachelX + 1 29132 KachelY + 1 18068 -0.34859713 1.09157652 -19.973144 62.542728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09162072-1.09157652) × R
    4.42000000000498e-05 × 6371000     		dl = 281.598200000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09162072-1.09157652) × R
    4.42000000000498e-05 × 6371000     		dr = 281.598200000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34869301--0.34859713) × cos(1.09162072) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.461047786118877 × 6371000     		do = 281.631722501581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34869301--0.34859713) × cos(1.09157652) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.461087007657159 × 6371000     		du = 281.655681036288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09162072)-sin(1.09157652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461047786118877-0.461087007657159)×R²
    abs(-0.34859713--0.34869301)×3.92215382816752e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.92215382816752e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.92215382816752e-05×40589641000000     		ar = 79310.3594725724m²