Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29130 / 19246
↖ ↑ ↗
← N 59.405957°
W 19.984131°		 ← 310.86 m → N 59.405957°
W 19.978638°		 →
↑
310.90 m
↓
↑
310.90 m
↓
N 59.403161°
W 19.984131°		 ← 310.89 m →
96 652 m²		 N 59.403161°
W 19.978638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444496154785156 y=0.293678283691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444496154785156 × 216)
    floor (0.444496154785156 × 65536)
    floor (29130.5)     		tx = 29130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293678283691406 × 216)
    floor (0.293678283691406 × 65536)
    floor (19246.5)     		ty = 19246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29130 / 19246 ti = "16/29130/19246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29130/19246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29130 ÷ 216
    29130 ÷ 65536     		x = 0.444488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19246 ÷ 216
    19246 ÷ 65536     		y = 0.293670654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.11102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34878888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293670654296875 × 2 - 1) × π
    0.41265869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2964055133248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34878888} λ = -0.34878888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2964055133248))-π/2
    2×atan(3.65613110553416)-π/2
    2×1.30381293686622-π/2
    2.60762587373243-1.57079632675     		φ = 1.03682955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34878888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.984131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03682955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.405957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29130 KachelY 19246 -0.34878888 1.03682955 -19.984131 59.405957
    Oben rechts KachelX + 1 29131 KachelY 19246 -0.34869301 1.03682955 -19.978638 59.405957
    Unten links KachelX 29130 KachelY + 1 19247 -0.34878888 1.03678075 -19.984131 59.403161
    Unten rechts KachelX + 1 29131 KachelY + 1 19247 -0.34869301 1.03678075 -19.978638 59.403161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03682955-1.03678075) × R
    4.8800000000071e-05 × 6371000     		dl = 310.904800000452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03682955-1.03678075) × R
    4.8800000000071e-05 × 6371000     		dr = 310.904800000452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34878888--0.34869301) × cos(1.03682955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.50895191793603 × 6371000     		do = 310.861606993364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34878888--0.34869301) × cos(1.03678075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.508993924123534 × 6371000     		du = 310.887263858956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03682955)-sin(1.03678075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50895191793603-0.508993924123534)×R²
    abs(-0.34869301--0.34878888)×4.20061875038291e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.20061875038291e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.20061875038291e-05×40589641000000     		ar = 96652.3541906549m²