Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29129 / 43143
↖ ↑ ↗
← S 49.407399°
W 19.989624°		 ← 397.47 m → S 49.407399°
W 19.984131°		 →
↑
397.42 m
↓
↑
397.42 m
↓
S 49.410973°
W 19.989624°		 ← 397.44 m →
157 957 m²		 S 49.410973°
W 19.984131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444480895996094 y=0.658317565917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444480895996094 × 216)
    floor (0.444480895996094 × 65536)
    floor (29129.5)     		tx = 29129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658317565917969 × 216)
    floor (0.658317565917969 × 65536)
    floor (43143.5)     		ty = 43143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29129 / 43143 ti = "16/29129/43143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29129/43143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29129 ÷ 216
    29129 ÷ 65536     		x = 0.444473266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43143 ÷ 216
    43143 ÷ 65536     		y = 0.658309936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444473266601562 × 2 - 1) × π
    -0.111053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34888476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658309936523438 × 2 - 1) × π
    -0.316619873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.994690667116165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34888476} λ = -0.34888476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994690667116165))-π/2
    2×atan(0.369837829854038)-π/2
    2×0.354237269194439-π/2
    0.708474538388877-1.57079632675     		φ = -0.86232179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34888476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.989624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86232179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.407399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29129 KachelY 43143 -0.34888476 -0.86232179 -19.989624 -49.407399
    Oben rechts KachelX + 1 29130 KachelY 43143 -0.34878888 -0.86232179 -19.984131 -49.407399
    Unten links KachelX 29129 KachelY + 1 43144 -0.34888476 -0.86238417 -19.989624 -49.410973
    Unten rechts KachelX + 1 29130 KachelY + 1 43144 -0.34878888 -0.86238417 -19.984131 -49.410973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86232179--0.86238417) × R
    6.23800000000285e-05 × 6371000     		dl = 397.422980000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86232179--0.86238417) × R
    6.23800000000285e-05 × 6371000     		dr = 397.422980000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34888476--0.34878888) × cos(-0.86232179) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.650676159911406 × 6371000     		do = 397.466495282569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34888476--0.34878888) × cos(-0.86238417) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.650628790059247 × 6371000     		du = 397.43755933827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86232179)-sin(-0.86238417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650676159911406-0.650628790059247)×R²
    abs(-0.34878888--0.34888476)×4.73698521591404e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73698521591404e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73698521591404e-05×40589641000000     		ar = 157956.569151768m²