Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29129 / 14629
↖ ↑ ↗
← N 70.071202°
W 19.989624°		 ← 208.21 m → N 70.071202°
W 19.984131°		 →
↑
208.20 m
↓
↑
208.20 m
↓
N 70.069330°
W 19.989624°		 ← 208.23 m →
43 352 m²		 N 70.069330°
W 19.984131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444480895996094 y=0.223228454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444480895996094 × 216)
    floor (0.444480895996094 × 65536)
    floor (29129.5)     		tx = 29129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223228454589844 × 216)
    floor (0.223228454589844 × 65536)
    floor (14629.5)     		ty = 14629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29129 / 14629 ti = "16/29129/14629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29129/14629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29129 ÷ 216
    29129 ÷ 65536     		x = 0.444473266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14629 ÷ 216
    14629 ÷ 65536     		y = 0.223220825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444473266601562 × 2 - 1) × π
    -0.111053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34888476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223220825195312 × 2 - 1) × π
    0.553558349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7390548444164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34888476} λ = -0.34888476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7390548444164))-π/2
    2×atan(5.69196109069559)-π/2
    2×1.39688476048562-π/2
    2.79376952097123-1.57079632675     		φ = 1.22297319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34888476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.989624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22297319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.071202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29129 KachelY 14629 -0.34888476 1.22297319 -19.989624 70.071202
    Oben rechts KachelX + 1 29130 KachelY 14629 -0.34878888 1.22297319 -19.984131 70.071202
    Unten links KachelX 29129 KachelY + 1 14630 -0.34888476 1.22294051 -19.989624 70.069330
    Unten rechts KachelX + 1 29130 KachelY + 1 14630 -0.34878888 1.22294051 -19.984131 70.069330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22297319-1.22294051) × R
    3.26800000001182e-05 × 6371000     		dl = 208.204280000753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22297319-1.22294051) × R
    3.26800000001182e-05 × 6371000     		dr = 208.204280000753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34888476--0.34878888) × cos(1.22297319) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.340852110725676 × 6371000     		do = 208.210016297887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34888476--0.34878888) × cos(1.22294051) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.34088283356487 × 6371000     		du = 208.228783389679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22297319)-sin(1.22294051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340852110725676-0.34088283356487)×R²
    abs(-0.34878888--0.34888476)×3.07228391949188e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.07228391949188e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.07228391949188e-05×40589641000000     		ar = 43352.17023029m²