Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29129 / 14628
↖ ↑ ↗
← N 70.073075°
W 19.989624°		 ← 208.19 m → N 70.073075°
W 19.984131°		 →
↑
208.20 m
↓
↑
208.20 m
↓
N 70.071202°
W 19.989624°		 ← 208.21 m →
43 348 m²		 N 70.071202°
W 19.984131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444480895996094 y=0.223213195800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444480895996094 × 216)
    floor (0.444480895996094 × 65536)
    floor (29129.5)     		tx = 29129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223213195800781 × 216)
    floor (0.223213195800781 × 65536)
    floor (14628.5)     		ty = 14628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29129 / 14628 ti = "16/29129/14628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29129/14628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29129 ÷ 216
    29129 ÷ 65536     		x = 0.444473266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14628 ÷ 216
    14628 ÷ 65536     		y = 0.22320556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444473266601562 × 2 - 1) × π
    -0.111053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34888476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22320556640625 × 2 - 1) × π
    0.5535888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.73915071821564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34888476} λ = -0.34888476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73915071821564))-π/2
    2×atan(5.69250682679096)-π/2
    2×1.39690109914251-π/2
    2.79380219828502-1.57079632675     		φ = 1.22300587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34888476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.989624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22300587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.073075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29129 KachelY 14628 -0.34888476 1.22300587 -19.989624 70.073075
    Oben rechts KachelX + 1 29130 KachelY 14628 -0.34878888 1.22300587 -19.984131 70.073075
    Unten links KachelX 29129 KachelY + 1 14629 -0.34888476 1.22297319 -19.989624 70.071202
    Unten rechts KachelX + 1 29130 KachelY + 1 14629 -0.34878888 1.22297319 -19.984131 70.071202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22300587-1.22297319) × R
    3.26799999998961e-05 × 6371000     		dl = 208.204279999338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22300587-1.22297319) × R
    3.26799999998961e-05 × 6371000     		dr = 208.204279999338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34888476--0.34878888) × cos(1.22300587) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.340821387522457 × 6371000     		do = 208.19124898373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34888476--0.34878888) × cos(1.22297319) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.340852110725676 × 6371000     		du = 208.210016297887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22300587)-sin(1.22297319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340821387522457-0.340852110725676)×R²
    abs(-0.34878888--0.34888476)×3.07232032187299e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.07232032187299e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.07232032187299e-05×40589641000000     		ar = 43348.2628184164m²