Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29128 / 43304
↖ ↑ ↗
← S 49.979488°
W 19.995117°		 ← 392.77 m → S 49.979488°
W 19.989624°		 →
↑
392.77 m
↓
↑
392.77 m
↓
S 49.983020°
W 19.995117°		 ← 392.75 m →
154 265 m²		 S 49.983020°
W 19.989624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444465637207031 y=0.660774230957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444465637207031 × 216)
    floor (0.444465637207031 × 65536)
    floor (29128.5)     		tx = 29128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660774230957031 × 216)
    floor (0.660774230957031 × 65536)
    floor (43304.5)     		ty = 43304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29128 / 43304 ti = "16/29128/43304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29128/43304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29128 ÷ 216
    29128 ÷ 65536     		x = 0.4444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43304 ÷ 216
    43304 ÷ 65536     		y = 0.6607666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34898063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6607666015625 × 2 - 1) × π
    -0.321533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01012634879382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34898063} λ = -0.34898063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01012634879382))-π/2
    2×atan(0.364172963849844)-π/2
    2×0.349244853461147-π/2
    0.698489706922295-1.57079632675     		φ = -0.87230662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34898063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.995117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87230662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.979488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29128 KachelY 43304 -0.34898063 -0.87230662 -19.995117 -49.979488
    Oben rechts KachelX + 1 29129 KachelY 43304 -0.34888476 -0.87230662 -19.989624 -49.979488
    Unten links KachelX 29128 KachelY + 1 43305 -0.34898063 -0.87236827 -19.995117 -49.983020
    Unten rechts KachelX + 1 29129 KachelY + 1 43305 -0.34888476 -0.87236827 -19.989624 -49.983020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87230662--0.87236827) × R
    6.16499999999132e-05 × 6371000     		dl = 392.772149999447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87230662--0.87236827) × R
    6.16499999999132e-05 × 6371000     		dr = 392.772149999447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34898063--0.34888476) × cos(-0.87230662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.643061816992917 × 6371000     		do = 392.774293173243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34898063--0.34888476) × cos(-0.87236827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.643014603321015 × 6371000     		du = 392.745455639869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87230662)-sin(-0.87236827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643061816992917-0.643014603321015)×R²
    abs(-0.34888476--0.34898063)×4.72136719017469e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72136719017469e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72136719017469e-05×40589641000000     		ar = 154265.140353304m²