Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29128 / 19191
↖ ↑ ↗
← N 59.559375°
W 19.995117°		 ← 309.45 m → N 59.559375°
W 19.989624°		 →
↑
309.50 m
↓
↑
309.50 m
↓
N 59.556592°
W 19.995117°		 ← 309.48 m →
95 781 m²		 N 59.556592°
W 19.989624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444465637207031 y=0.292839050292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444465637207031 × 216)
    floor (0.444465637207031 × 65536)
    floor (29128.5)     		tx = 29128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292839050292969 × 216)
    floor (0.292839050292969 × 65536)
    floor (19191.5)     		ty = 19191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29128 / 19191 ti = "16/29128/19191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29128/19191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29128 ÷ 216
    29128 ÷ 65536     		x = 0.4444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19191 ÷ 216
    19191 ÷ 65536     		y = 0.292831420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34898063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292831420898438 × 2 - 1) × π
    0.414337158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.301678572283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34898063} λ = -0.34898063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.301678572283))-π/2
    2×atan(3.67546101951135)-π/2
    2×1.30515176122737-π/2
    2.61030352245474-1.57079632675     		φ = 1.03950720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34898063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.995117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03950720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.559375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29128 KachelY 19191 -0.34898063 1.03950720 -19.995117 59.559375
    Oben rechts KachelX + 1 29129 KachelY 19191 -0.34888476 1.03950720 -19.989624 59.559375
    Unten links KachelX 29128 KachelY + 1 19192 -0.34898063 1.03945862 -19.995117 59.556592
    Unten rechts KachelX + 1 29129 KachelY + 1 19192 -0.34888476 1.03945862 -19.989624 59.556592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03950720-1.03945862) × R
    4.85800000000758e-05 × 6371000     		dl = 309.503180000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03950720-1.03945862) × R
    4.85800000000758e-05 × 6371000     		dr = 309.503180000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34898063--0.34888476) × cos(1.03950720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.506645188550503 × 6371000     		do = 309.452684895984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34898063--0.34888476) × cos(1.03945862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.506687071425887 × 6371000     		du = 309.478266444042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03950720)-sin(1.03945862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506645188550503-0.506687071425887)×R²
    abs(-0.34888476--0.34898063)×4.18828753845357e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.18828753845357e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.18828753845357e-05×40589641000000     		ar = 95780.5488390756m²