Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29127 / 42822
↖ ↑ ↗
← S 48.246626°
W 20.000610°		 ← 406.74 m → S 48.246626°
W 19.995117°		 →
↑
406.72 m
↓
↑
406.72 m
↓
S 48.250283°
W 20.000610°		 ← 406.71 m →
165 425 m²		 S 48.250283°
W 19.995117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444450378417969 y=0.653419494628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444450378417969 × 216)
    floor (0.444450378417969 × 65536)
    floor (29127.5)     		tx = 29127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653419494628906 × 216)
    floor (0.653419494628906 × 65536)
    floor (42822.5)     		ty = 42822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29127 / 42822 ti = "16/29127/42822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29127/42822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29127 ÷ 216
    29127 ÷ 65536     		x = 0.444442749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42822 ÷ 216
    42822 ÷ 65536     		y = 0.653411865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444442749023438 × 2 - 1) × π
    -0.111114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34907650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.30682373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.963915177560089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34907650} λ = -0.34907650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.963915177560089))-π/2
    2×atan(0.381396723122812)-π/2
    2×0.364366928639166-π/2
    0.728733857278333-1.57079632675     		φ = -0.84206247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34907650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.000610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84206247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.246626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29127 KachelY 42822 -0.34907650 -0.84206247 -20.000610 -48.246626
    Oben rechts KachelX + 1 29128 KachelY 42822 -0.34898063 -0.84206247 -19.995117 -48.246626
    Unten links KachelX 29127 KachelY + 1 42823 -0.34907650 -0.84212631 -20.000610 -48.250283
    Unten rechts KachelX + 1 29128 KachelY + 1 42823 -0.34898063 -0.84212631 -19.995117 -48.250283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84206247--0.84212631) × R
    6.38400000000372e-05 × 6371000     		dl = 406.724640000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84206247--0.84212631) × R
    6.38400000000372e-05 × 6371000     		dr = 406.724640000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34907650--0.34898063) × cos(-0.84206247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.66592560321415 × 6371000     		do = 406.739214173067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34907650--0.34898063) × cos(-0.84212631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.665877976058017 × 6371000     		du = 406.710124088581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84206247)-sin(-0.84212631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66592560321415-0.665877976058017)×R²
    abs(-0.34898063--0.34907650)×4.76271561331565e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76271561331565e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76271561331565e-05×40589641000000     		ar = 165424.944687828m²