Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29127 / 18081
↖ ↑ ↗
← N 62.509783°
W 20.000610°		 ← 281.94 m → N 62.509783°
W 19.995117°		 →
↑
281.98 m
↓
↑
281.98 m
↓
N 62.507247°
W 20.000610°		 ← 281.96 m →
79 504 m²		 N 62.507247°
W 19.995117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444450378417969 y=0.275901794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444450378417969 × 216)
    floor (0.444450378417969 × 65536)
    floor (29127.5)     		tx = 29127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275901794433594 × 216)
    floor (0.275901794433594 × 65536)
    floor (18081.5)     		ty = 18081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29127 / 18081 ti = "16/29127/18081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29127/18081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29127 ÷ 216
    29127 ÷ 65536     		x = 0.444442749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18081 ÷ 216
    18081 ÷ 65536     		y = 0.275894165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444442749023438 × 2 - 1) × π
    -0.111114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34907650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275894165039062 × 2 - 1) × π
    0.448211669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40809848943953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34907650} λ = -0.34907650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40809848943953))-π/2
    2×atan(4.08817430188365)-π/2
    2×1.33089892233144-π/2
    2.66179784466289-1.57079632675     		φ = 1.09100152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34907650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.000610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09100152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.509783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29127 KachelY 18081 -0.34907650 1.09100152 -20.000610 62.509783
    Oben rechts KachelX + 1 29128 KachelY 18081 -0.34898063 1.09100152 -19.995117 62.509783
    Unten links KachelX 29127 KachelY + 1 18082 -0.34907650 1.09095726 -20.000610 62.507247
    Unten rechts KachelX + 1 29128 KachelY + 1 18082 -0.34898063 1.09095726 -19.995117 62.507247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09100152-1.09095726) × R
    4.42600000001292e-05 × 6371000     		dl = 281.980460000823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09100152-1.09095726) × R
    4.42600000001292e-05 × 6371000     		dr = 281.980460000823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34907650--0.34898063) × cos(1.09100152) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461597160490211 × 6371000     		do = 281.937900294142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34907650--0.34898063) × cos(1.09095726) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461636422626342 × 6371000     		du = 281.961881126715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09100152)-sin(1.09095726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461597160490211-0.461636422626342)×R²
    abs(-0.34898063--0.34907650)×3.92621361304801e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92621361304801e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92621361304801e-05×40589641000000     		ar = 79504.3598924293m²