Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29126 / 42764
↖ ↑ ↗
← S 48.034019°
W 20.006104°		 ← 408.47 m → S 48.034019°
W 20.000610°		 →
↑
408.38 m
↓
↑
408.38 m
↓
S 48.037692°
W 20.006104°		 ← 408.44 m →
166 805 m²		 S 48.037692°
W 20.000610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444435119628906 y=0.652534484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444435119628906 × 216)
    floor (0.444435119628906 × 65536)
    floor (29126.5)     		tx = 29126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652534484863281 × 216)
    floor (0.652534484863281 × 65536)
    floor (42764.5)     		ty = 42764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29126 / 42764 ti = "16/29126/42764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29126/42764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29126 ÷ 216
    29126 ÷ 65536     		x = 0.444427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42764 ÷ 216
    42764 ÷ 65536     		y = 0.65252685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.11114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34917238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65252685546875 × 2 - 1) × π
    -0.3050537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.958354497204163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34917238} λ = -0.34917238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958354497204163))-π/2
    2×atan(0.383523455949536)-π/2
    2×0.366222269764429-π/2
    0.732444539528859-1.57079632675     		φ = -0.83835179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34917238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.006104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83835179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.034019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29126 KachelY 42764 -0.34917238 -0.83835179 -20.006104 -48.034019
    Oben rechts KachelX + 1 29127 KachelY 42764 -0.34907650 -0.83835179 -20.000610 -48.034019
    Unten links KachelX 29126 KachelY + 1 42765 -0.34917238 -0.83841589 -20.006104 -48.037692
    Unten rechts KachelX + 1 29127 KachelY + 1 42765 -0.34907650 -0.83841589 -20.000610 -48.037692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83835179--0.83841589) × R
    6.41000000000114e-05 × 6371000     		dl = 408.381100000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83835179--0.83841589) × R
    6.41000000000114e-05 × 6371000     		dr = 408.381100000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34917238--0.34907650) × cos(-0.83835179) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.668689246909098 × 6371000     		do = 408.469816134477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34917238--0.34907650) × cos(-0.83841589) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.668641584493806 × 6371000     		du = 408.440701477555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83835179)-sin(-0.83841589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668689246909098-0.668641584493806)×R²
    abs(-0.34907650--0.34917238)×4.76624152924154e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76624152924154e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76624152924154e-05×40589641000000     		ar = 166805.407949045m²