Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29125 / 42907
↖ ↑ ↗
← S 48.556614°
W 20.011597°		 ← 404.27 m → S 48.556614°
W 20.006104°		 →
↑
404.24 m
↓
↑
404.24 m
↓
S 48.560250°
W 20.011597°		 ← 404.24 m →
163 415 m²		 S 48.560250°
W 20.006104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444419860839844 y=0.654716491699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444419860839844 × 216)
    floor (0.444419860839844 × 65536)
    floor (29125.5)     		tx = 29125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654716491699219 × 216)
    floor (0.654716491699219 × 65536)
    floor (42907.5)     		ty = 42907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29125 / 42907 ti = "16/29125/42907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29125/42907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29125 ÷ 216
    29125 ÷ 65536     		x = 0.444412231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42907 ÷ 216
    42907 ÷ 65536     		y = 0.654708862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444412231445312 × 2 - 1) × π
    -0.111175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34926825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654708862304688 × 2 - 1) × π
    -0.309417724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.972064450495499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34926825} λ = -0.34926825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.972064450495499))-π/2
    2×atan(0.378301247199524)-π/2
    2×0.361661768497884-π/2
    0.723323536995768-1.57079632675     		φ = -0.84747279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34926825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.011597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84747279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.556614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29125 KachelY 42907 -0.34926825 -0.84747279 -20.011597 -48.556614
    Oben rechts KachelX + 1 29126 KachelY 42907 -0.34917238 -0.84747279 -20.006104 -48.556614
    Unten links KachelX 29125 KachelY + 1 42908 -0.34926825 -0.84753624 -20.011597 -48.560250
    Unten rechts KachelX + 1 29126 KachelY + 1 42908 -0.34917238 -0.84753624 -20.006104 -48.560250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84747279--0.84753624) × R
    6.34500000000759e-05 × 6371000     		dl = 404.239950000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84747279--0.84753624) × R
    6.34500000000759e-05 × 6371000     		dr = 404.239950000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34926825--0.34917238) × cos(-0.84747279) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661879679630735 × 6371000     		do = 404.268013529962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34926825--0.34917238) × cos(-0.84753624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661832115538112 × 6371000     		du = 404.238961963897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84747279)-sin(-0.84753624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661879679630735-0.661832115538112)×R²
    abs(-0.34917238--0.34926825)×4.75640926227427e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75640926227427e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75640926227427e-05×40589641000000     		ar = 163415.409729069m²