Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29125 / 19255
↖ ↑ ↗
← N 59.380786°
W 20.011597°		 ← 311.09 m → N 59.380786°
W 20.006104°		 →
↑
311.16 m
↓
↑
311.16 m
↓
N 59.377988°
W 20.011597°		 ← 311.12 m →
96 803 m²		 N 59.377988°
W 20.006104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444419860839844 y=0.293815612792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444419860839844 × 216)
    floor (0.444419860839844 × 65536)
    floor (29125.5)     		tx = 29125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293815612792969 × 216)
    floor (0.293815612792969 × 65536)
    floor (19255.5)     		ty = 19255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29125 / 19255 ti = "16/29125/19255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29125/19255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29125 ÷ 216
    29125 ÷ 65536     		x = 0.444412231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19255 ÷ 216
    19255 ÷ 65536     		y = 0.293807983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444412231445312 × 2 - 1) × π
    -0.111175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34926825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293807983398438 × 2 - 1) × π
    0.412384033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29554264913164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34926825} λ = -0.34926825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29554264913164))-π/2
    2×atan(3.65297772158439)-π/2
    2×1.30359327711318-π/2
    2.60718655422636-1.57079632675     		φ = 1.03639023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34926825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.011597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03639023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.380786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29125 KachelY 19255 -0.34926825 1.03639023 -20.011597 59.380786
    Oben rechts KachelX + 1 29126 KachelY 19255 -0.34917238 1.03639023 -20.006104 59.380786
    Unten links KachelX 29125 KachelY + 1 19256 -0.34926825 1.03634139 -20.011597 59.377988
    Unten rechts KachelX + 1 29126 KachelY + 1 19256 -0.34917238 1.03634139 -20.006104 59.377988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03639023-1.03634139) × R
    4.884000000005e-05 × 6371000     		dl = 311.159640000318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03639023-1.03634139) × R
    4.884000000005e-05 × 6371000     		dr = 311.159640000318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34926825--0.34917238) × cos(1.03639023) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.509330033246732 × 6371000     		do = 311.092555200791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34926825--0.34917238) × cos(1.03634139) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.509372062940262 × 6371000     		du = 311.118226423576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03639023)-sin(1.03634139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509330033246732-0.509372062940262)×R²
    abs(-0.34917238--0.34926825)×4.20296935299547e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.20296935299547e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.20296935299547e-05×40589641000000     		ar = 96803.4414262957m²