Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29124 / 19530
↖ ↑ ↗
← N 58.602610°
W 20.017090°		 ← 318.20 m → N 58.602610°
W 20.011597°		 →
↑
318.17 m
↓
↑
318.17 m
↓
N 58.599749°
W 20.017090°		 ← 318.23 m →
101 246 m²		 N 58.599749°
W 20.011597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444404602050781 y=0.298011779785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444404602050781 × 216)
    floor (0.444404602050781 × 65536)
    floor (29124.5)     		tx = 29124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298011779785156 × 216)
    floor (0.298011779785156 × 65536)
    floor (19530.5)     		ty = 19530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29124 / 19530 ti = "16/29124/19530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29124/19530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29124 ÷ 216
    29124 ÷ 65536     		x = 0.44439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19530 ÷ 216
    19530 ÷ 65536     		y = 0.298004150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.1112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34936412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298004150390625 × 2 - 1) × π
    0.40399169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26917735434061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34936412} λ = -0.34936412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26917735434061))-π/2
    2×atan(3.55792444701718)-π/2
    2×1.29680241577509-π/2
    2.59360483155018-1.57079632675     		φ = 1.02280850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34936412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.017090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02280850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.602610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29124 KachelY 19530 -0.34936412 1.02280850 -20.017090 58.602610
    Oben rechts KachelX + 1 29125 KachelY 19530 -0.34926825 1.02280850 -20.011597 58.602610
    Unten links KachelX 29124 KachelY + 1 19531 -0.34936412 1.02275856 -20.017090 58.599749
    Unten rechts KachelX + 1 29125 KachelY + 1 19531 -0.34926825 1.02275856 -20.011597 58.599749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02280850-1.02275856) × R
    4.99400000000261e-05 × 6371000     		dl = 318.167740000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02280850-1.02275856) × R
    4.99400000000261e-05 × 6371000     		dr = 318.167740000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34936412--0.34926825) × cos(1.02280850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.520970744949873 × 6371000     		do = 318.202559543165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34936412--0.34926825) × cos(1.02275856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.521013371812368 × 6371000     		du = 318.22859550945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02280850)-sin(1.02275856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520970744949873-0.521013371812368)×R²
    abs(-0.34926825--0.34936412)×4.26268624948989e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26268624948989e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26268624948989e-05×40589641000000     		ar = 101245.9311555m²