Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29123 / 42763
↖ ↑ ↗
← S 48.030346°
W 20.022583°		 ← 408.50 m → S 48.030346°
W 20.017090°		 →
↑
408.44 m
↓
↑
408.44 m
↓
S 48.034019°
W 20.022583°		 ← 408.47 m →
166 843 m²		 S 48.034019°
W 20.017090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444389343261719 y=0.652519226074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444389343261719 × 216)
    floor (0.444389343261719 × 65536)
    floor (29123.5)     		tx = 29123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652519226074219 × 216)
    floor (0.652519226074219 × 65536)
    floor (42763.5)     		ty = 42763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29123 / 42763 ti = "16/29123/42763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29123/42763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29123 ÷ 216
    29123 ÷ 65536     		x = 0.444381713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42763 ÷ 216
    42763 ÷ 65536     		y = 0.652511596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444381713867188 × 2 - 1) × π
    -0.111236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34946000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652511596679688 × 2 - 1) × π
    -0.305023193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.958258623404923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34946000} λ = -0.34946000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958258623404923))-π/2
    2×atan(0.383560227563045)-π/2
    2×0.366254325796374-π/2
    0.732508651592747-1.57079632675     		φ = -0.83828768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34946000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.022583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83828768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.030346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29123 KachelY 42763 -0.34946000 -0.83828768 -20.022583 -48.030346
    Oben rechts KachelX + 1 29124 KachelY 42763 -0.34936412 -0.83828768 -20.017090 -48.030346
    Unten links KachelX 29123 KachelY + 1 42764 -0.34946000 -0.83835179 -20.022583 -48.034019
    Unten rechts KachelX + 1 29124 KachelY + 1 42764 -0.34936412 -0.83835179 -20.017090 -48.034019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83828768--0.83835179) × R
    6.41100000000616e-05 × 6371000     		dl = 408.444810000393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83828768--0.83835179) × R
    6.41100000000616e-05 × 6371000     		dr = 408.444810000393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34946000--0.34936412) × cos(-0.83828768) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.668736914011865 × 6371000     		do = 408.498933654749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34946000--0.34936412) × cos(-0.83835179) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.668689246909098 × 6371000     		du = 408.469816134477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83828768)-sin(-0.83835179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668736914011865-0.668689246909098)×R²
    abs(-0.34936412--0.34946000)×4.7667102766713e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7667102766713e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7667102766713e-05×40589641000000     		ar = 166843.322949271m²