Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29123 / 42758
↖ ↑ ↗
← S 48.011975°
W 20.022583°		 ← 408.64 m → S 48.011975°
W 20.017090°		 →
↑
408.57 m
↓
↑
408.57 m
↓
S 48.015650°
W 20.022583°		 ← 408.62 m →
166 955 m²		 S 48.015650°
W 20.017090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444389343261719 y=0.652442932128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444389343261719 × 216)
    floor (0.444389343261719 × 65536)
    floor (29123.5)     		tx = 29123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652442932128906 × 216)
    floor (0.652442932128906 × 65536)
    floor (42758.5)     		ty = 42758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29123 / 42758 ti = "16/29123/42758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29123/42758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29123 ÷ 216
    29123 ÷ 65536     		x = 0.444381713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42758 ÷ 216
    42758 ÷ 65536     		y = 0.652435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444381713867188 × 2 - 1) × π
    -0.111236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34946000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.30487060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.957779254408722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34946000} λ = -0.34946000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957779254408722))-π/2
    2×atan(0.383744138521398)-π/2
    2×0.36641464023325-π/2
    0.7328292804665-1.57079632675     		φ = -0.83796705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34946000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.022583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83796705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.011975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29123 KachelY 42758 -0.34946000 -0.83796705 -20.022583 -48.011975
    Oben rechts KachelX + 1 29124 KachelY 42758 -0.34936412 -0.83796705 -20.017090 -48.011975
    Unten links KachelX 29123 KachelY + 1 42759 -0.34946000 -0.83803118 -20.022583 -48.015650
    Unten rechts KachelX + 1 29124 KachelY + 1 42759 -0.34936412 -0.83803118 -20.017090 -48.015650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83796705--0.83803118) × R
    6.41299999999401e-05 × 6371000     		dl = 408.572229999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83796705--0.83803118) × R
    6.41299999999401e-05 × 6371000     		dr = 408.572229999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34946000--0.34936412) × cos(-0.83796705) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.668975267756001 × 6371000     		do = 408.644532392118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34946000--0.34936412) × cos(-0.83803118) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.668927599534925 × 6371000     		du = 408.615414188725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83796705)-sin(-0.83803118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668975267756001-0.668927599534925)×R²
    abs(-0.34936412--0.34946000)×4.76682210762691e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76682210762691e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76682210762691e-05×40589641000000     		ar = 166954.859489222m²