Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29123 / 18013
↖ ↑ ↗
← N 62.681707°
W 20.022583°		 ← 280.34 m → N 62.681707°
W 20.017090°		 →
↑
280.32 m
↓
↑
280.32 m
↓
N 62.679186°
W 20.022583°		 ← 280.36 m →
78 589 m²		 N 62.679186°
W 20.017090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444389343261719 y=0.274864196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444389343261719 × 216)
    floor (0.444389343261719 × 65536)
    floor (29123.5)     		tx = 29123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274864196777344 × 216)
    floor (0.274864196777344 × 65536)
    floor (18013.5)     		ty = 18013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29123 / 18013 ti = "16/29123/18013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29123/18013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29123 ÷ 216
    29123 ÷ 65536     		x = 0.444381713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18013 ÷ 216
    18013 ÷ 65536     		y = 0.274856567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444381713867188 × 2 - 1) × π
    -0.111236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34946000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274856567382812 × 2 - 1) × π
    0.450286865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.41461790778786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34946000} λ = -0.34946000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41461790778786))-π/2
    2×atan(4.11491388900706)-π/2
    2×1.33239924996458-π/2
    2.66479849992916-1.57079632675     		φ = 1.09400217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34946000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.022583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09400217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.681707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29123 KachelY 18013 -0.34946000 1.09400217 -20.022583 62.681707
    Oben rechts KachelX + 1 29124 KachelY 18013 -0.34936412 1.09400217 -20.017090 62.681707
    Unten links KachelX 29123 KachelY + 1 18014 -0.34946000 1.09395817 -20.022583 62.679186
    Unten rechts KachelX + 1 29124 KachelY + 1 18014 -0.34936412 1.09395817 -20.017090 62.679186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09400217-1.09395817) × R
    4.3999999999933e-05 × 6371000     		dl = 280.323999999573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09400217-1.09395817) × R
    4.3999999999933e-05 × 6371000     		dr = 280.323999999573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34946000--0.34936412) × cos(1.09400217) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.458933240816392 × 6371000     		do = 280.340049373868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34946000--0.34936412) × cos(1.09395817) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.458972333085302 × 6371000     		du = 280.363928944188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09400217)-sin(1.09395817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458933240816392-0.458972333085302)×R²
    abs(-0.34936412--0.34946000)×3.90922689100237e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.90922689100237e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.90922689100237e-05×40589641000000     		ar = 78589.3910212262m²