Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29123 / 14655
↖ ↑ ↗
← N 70.022464°
W 20.022583°		 ← 208.70 m → N 70.022464°
W 20.017090°		 →
↑
208.71 m
↓
↑
208.71 m
↓
N 70.020587°
W 20.022583°		 ← 208.72 m →
43 560 m²		 N 70.020587°
W 20.017090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444389343261719 y=0.223625183105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444389343261719 × 216)
    floor (0.444389343261719 × 65536)
    floor (29123.5)     		tx = 29123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223625183105469 × 216)
    floor (0.223625183105469 × 65536)
    floor (14655.5)     		ty = 14655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29123 / 14655 ti = "16/29123/14655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29123/14655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29123 ÷ 216
    29123 ÷ 65536     		x = 0.444381713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14655 ÷ 216
    14655 ÷ 65536     		y = 0.223617553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444381713867188 × 2 - 1) × π
    -0.111236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34946000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223617553710938 × 2 - 1) × π
    0.552764892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73656212563615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34946000} λ = -0.34946000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73656212563615))-π/2
    2×atan(5.67779030162212)-π/2
    2×1.39645943814731-π/2
    2.79291887629462-1.57079632675     		φ = 1.22212255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34946000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.022583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22212255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.022464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29123 KachelY 14655 -0.34946000 1.22212255 -20.022583 70.022464
    Oben rechts KachelX + 1 29124 KachelY 14655 -0.34936412 1.22212255 -20.017090 70.022464
    Unten links KachelX 29123 KachelY + 1 14656 -0.34946000 1.22208979 -20.022583 70.020587
    Unten rechts KachelX + 1 29124 KachelY + 1 14656 -0.34936412 1.22208979 -20.017090 70.020587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22212255-1.22208979) × R
    3.2759999999854e-05 × 6371000     		dl = 208.71395999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22212255-1.22208979) × R
    3.2759999999854e-05 × 6371000     		dr = 208.71395999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34946000--0.34936412) × cos(1.22212255) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.341651688374693 × 6371000     		do = 208.698439488164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34946000--0.34936412) × cos(1.22208979) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.341682476912264 × 6371000     		du = 208.717246711907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22212255)-sin(1.22208979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341651688374693-0.341682476912264)×R²
    abs(-0.34936412--0.34946000)×3.07885375717687e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.07885375717687e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.07885375717687e-05×40589641000000     		ar = 43560.2404199122m²