Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29122 / 19276
↖ ↑ ↗
← N 59.321981°
W 20.028076°		 ← 311.63 m → N 59.321981°
W 20.022583°		 →
↑
311.67 m
↓
↑
311.67 m
↓
N 59.319178°
W 20.028076°		 ← 311.66 m →
97 130 m²		 N 59.319178°
W 20.022583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444374084472656 y=0.294136047363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444374084472656 × 216)
    floor (0.444374084472656 × 65536)
    floor (29122.5)     		tx = 29122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294136047363281 × 216)
    floor (0.294136047363281 × 65536)
    floor (19276.5)     		ty = 19276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29122 / 19276 ti = "16/29122/19276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29122/19276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29122 ÷ 216
    29122 ÷ 65536     		x = 0.444366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19276 ÷ 216
    19276 ÷ 65536     		y = 0.29412841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.11126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34955587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29412841796875 × 2 - 1) × π
    0.4117431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2935292993476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34955587} λ = -0.34955587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2935292993476))-π/2
    2×atan(3.64563039852508)-π/2
    2×1.30308010300241-π/2
    2.60616020600482-1.57079632675     		φ = 1.03536388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34955587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.028076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03536388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.321981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29122 KachelY 19276 -0.34955587 1.03536388 -20.028076 59.321981
    Oben rechts KachelX + 1 29123 KachelY 19276 -0.34946000 1.03536388 -20.022583 59.321981
    Unten links KachelX 29122 KachelY + 1 19277 -0.34955587 1.03531496 -20.028076 59.319178
    Unten rechts KachelX + 1 29123 KachelY + 1 19277 -0.34946000 1.03531496 -20.022583 59.319178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03536388-1.03531496) × R
    4.89200000000078e-05 × 6371000     		dl = 311.66932000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03536388-1.03531496) × R
    4.89200000000078e-05 × 6371000     		dr = 311.66932000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34955587--0.34946000) × cos(1.03536388) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.510213012155836 × 6371000     		do = 311.631867919639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34955587--0.34946000) × cos(1.03531496) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.510255085096878 × 6371000     		du = 311.657565557475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03536388)-sin(1.03531496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510213012155836-0.510255085096878)×R²
    abs(-0.34946000--0.34955587)×4.20729410415266e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.20729410415266e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.20729410415266e-05×40589641000000     		ar = 97130.0969671097m²