Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29121 / 42809
↖ ↑ ↗
← S 48.199049°
W 20.033570°		 ← 407.16 m → S 48.199049°
W 20.028076°		 →
↑
407.11 m
↓
↑
407.11 m
↓
S 48.202710°
W 20.033570°		 ← 407.13 m →
165 752 m²		 S 48.202710°
W 20.028076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444358825683594 y=0.653221130371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444358825683594 × 216)
    floor (0.444358825683594 × 65536)
    floor (29121.5)     		tx = 29121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653221130371094 × 216)
    floor (0.653221130371094 × 65536)
    floor (42809.5)     		ty = 42809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29121 / 42809 ti = "16/29121/42809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29121/42809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29121 ÷ 216
    29121 ÷ 65536     		x = 0.444351196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42809 ÷ 216
    42809 ÷ 65536     		y = 0.653213500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444351196289062 × 2 - 1) × π
    -0.111297607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34965175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653213500976562 × 2 - 1) × π
    -0.306427001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.962668818169968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34965175} λ = -0.34965175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.962668818169968))-π/2
    2×atan(0.381872376866219)-π/2
    2×0.364782112896704-π/2
    0.729564225793407-1.57079632675     		φ = -0.84123210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34965175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.033570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84123210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.199049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29121 KachelY 42809 -0.34965175 -0.84123210 -20.033570 -48.199049
    Oben rechts KachelX + 1 29122 KachelY 42809 -0.34955587 -0.84123210 -20.028076 -48.199049
    Unten links KachelX 29121 KachelY + 1 42810 -0.34965175 -0.84129600 -20.033570 -48.202710
    Unten rechts KachelX + 1 29122 KachelY + 1 42810 -0.34955587 -0.84129600 -20.028076 -48.202710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84123210--0.84129600) × R
    6.39000000000056e-05 × 6371000     		dl = 407.106900000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84123210--0.84129600) × R
    6.39000000000056e-05 × 6371000     		dr = 407.106900000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34965175--0.34955587) × cos(-0.84123210) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.666544844657605 × 6371000     		do = 407.159904845437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34965175--0.34955587) × cos(-0.84129600) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.666497208087438 × 6371000     		du = 407.130805976048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84123210)-sin(-0.84129600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666544844657605-0.666497208087438)×R²
    abs(-0.34955587--0.34965175)×4.76365701673753e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76365701673753e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76365701673753e-05×40589641000000     		ar = 165751.683547028m²