Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29121 / 42759
↖ ↑ ↗
← S 48.015650°
W 20.033570°		 ← 408.62 m → S 48.015650°
W 20.028076°		 →
↑
408.57 m
↓
↑
408.57 m
↓
S 48.019324°
W 20.033570°		 ← 408.59 m →
166 943 m²		 S 48.019324°
W 20.028076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444358825683594 y=0.652458190917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444358825683594 × 216)
    floor (0.444358825683594 × 65536)
    floor (29121.5)     		tx = 29121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652458190917969 × 216)
    floor (0.652458190917969 × 65536)
    floor (42759.5)     		ty = 42759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29121 / 42759 ti = "16/29121/42759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29121/42759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29121 ÷ 216
    29121 ÷ 65536     		x = 0.444351196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42759 ÷ 216
    42759 ÷ 65536     		y = 0.652450561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444351196289062 × 2 - 1) × π
    -0.111297607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34965175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652450561523438 × 2 - 1) × π
    -0.304901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.957875128207962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34965175} λ = -0.34965175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957875128207962))-π/2
    2×atan(0.383707349276493)-π/2
    2×0.366382572775484-π/2
    0.732765145550968-1.57079632675     		φ = -0.83803118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34965175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.033570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83803118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.015650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29121 KachelY 42759 -0.34965175 -0.83803118 -20.033570 -48.015650
    Oben rechts KachelX + 1 29122 KachelY 42759 -0.34955587 -0.83803118 -20.028076 -48.015650
    Unten links KachelX 29121 KachelY + 1 42760 -0.34965175 -0.83809531 -20.033570 -48.019324
    Unten rechts KachelX + 1 29122 KachelY + 1 42760 -0.34955587 -0.83809531 -20.028076 -48.019324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83803118--0.83809531) × R
    6.41300000000511e-05 × 6371000     		dl = 408.572230000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83803118--0.83809531) × R
    6.41300000000511e-05 × 6371000     		dr = 408.572230000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34965175--0.34955587) × cos(-0.83803118) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.668927599534925 × 6371000     		do = 408.615414188725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34965175--0.34955587) × cos(-0.83809531) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.668879928562778 × 6371000     		du = 408.586294304836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83803118)-sin(-0.83809531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668927599534925-0.668879928562778)×R²
    abs(-0.34955587--0.34965175)×4.76709721461965e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76709721461965e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76709721461965e-05×40589641000000     		ar = 166942.96225687m²