Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29121 / 14633
↖ ↑ ↗
← N 70.063712°
W 20.033570°		 ← 208.29 m → N 70.063712°
W 20.028076°		 →
↑
208.33 m
↓
↑
208.33 m
↓
N 70.061838°
W 20.033570°		 ← 208.30 m →
43 394 m²		 N 70.061838°
W 20.028076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444358825683594 y=0.223289489746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444358825683594 × 216)
    floor (0.444358825683594 × 65536)
    floor (29121.5)     		tx = 29121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223289489746094 × 216)
    floor (0.223289489746094 × 65536)
    floor (14633.5)     		ty = 14633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29121 / 14633 ti = "16/29121/14633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29121/14633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29121 ÷ 216
    29121 ÷ 65536     		x = 0.444351196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14633 ÷ 216
    14633 ÷ 65536     		y = 0.223281860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444351196289062 × 2 - 1) × π
    -0.111297607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34965175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223281860351562 × 2 - 1) × π
    0.553436279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.73867134921944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34965175} λ = -0.34965175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73867134921944))-π/2
    2×atan(5.6897786694568)-π/2
    2×1.39681939112978-π/2
    2.79363878225956-1.57079632675     		φ = 1.22284246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34965175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.033570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22284246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.063712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29121 KachelY 14633 -0.34965175 1.22284246 -20.033570 70.063712
    Oben rechts KachelX + 1 29122 KachelY 14633 -0.34955587 1.22284246 -20.028076 70.063712
    Unten links KachelX 29121 KachelY + 1 14634 -0.34965175 1.22280976 -20.033570 70.061838
    Unten rechts KachelX + 1 29122 KachelY + 1 14634 -0.34955587 1.22280976 -20.028076 70.061838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22284246-1.22280976) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dl = 208.331699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22284246-1.22280976) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dr = 208.331699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34965175--0.34955587) × cos(1.22284246) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.340975009298706 × 6371000     		do = 208.285089073112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34965175--0.34955587) × cos(1.22280976) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.341005749482589 × 6371000     		du = 208.303866759933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22284246)-sin(1.22280976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340975009298706-0.341005749482589)×R²
    abs(-0.34955587--0.34965175)×3.07401838833266e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.07401838833266e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.07401838833266e-05×40589641000000     		ar = 43394.3426889945m²