Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29119 / 42750
↖ ↑ ↗
← S 47.982568°
W 20.044555°		 ← 408.83 m → S 47.982568°
W 20.039063°		 →
↑
408.83 m
↓
↑
408.83 m
↓
S 47.986245°
W 20.044555°		 ← 408.81 m →
167 137 m²		 S 47.986245°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444328308105469 y=0.652320861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444328308105469 × 216)
    floor (0.444328308105469 × 65536)
    floor (29119.5)     		tx = 29119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652320861816406 × 216)
    floor (0.652320861816406 × 65536)
    floor (42750.5)     		ty = 42750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29119 / 42750 ti = "16/29119/42750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29119/42750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29119 ÷ 216
    29119 ÷ 65536     		x = 0.444320678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42750 ÷ 216
    42750 ÷ 65536     		y = 0.652313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444320678710938 × 2 - 1) × π
    -0.111358642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34984349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652313232421875 × 2 - 1) × π
    -0.30462646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.957012264014801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34984349} λ = -0.34984349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957012264014801))-π/2
    2×atan(0.384038579491631)-π/2
    2×0.366671262167235-π/2
    0.73334252433447-1.57079632675     		φ = -0.83745380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34984349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.044555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83745380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.982568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29119 KachelY 42750 -0.34984349 -0.83745380 -20.044555 -47.982568
    Oben rechts KachelX + 1 29120 KachelY 42750 -0.34974762 -0.83745380 -20.039063 -47.982568
    Unten links KachelX 29119 KachelY + 1 42751 -0.34984349 -0.83751797 -20.044555 -47.986245
    Unten rechts KachelX + 1 29120 KachelY + 1 42751 -0.34974762 -0.83751797 -20.039063 -47.986245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83745380--0.83751797) × R
    6.4169999999919e-05 × 6371000     		dl = 408.827069999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83745380--0.83751797) × R
    6.4169999999919e-05 × 6371000     		dr = 408.827069999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34984349--0.34974762) × cos(-0.83745380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669356670480249 × 6371000     		do = 408.834868097247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34984349--0.34974762) × cos(-0.83751797) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669308994564435 × 6371000     		du = 408.805748230945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83745380)-sin(-0.83751797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669356670480249-0.669308994564435)×R²
    abs(-0.34974762--0.34984349)×4.7675915814005e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7675915814005e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7675915814005e-05×40589641000000     		ar = 167136.808800443m²