Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29118 / 43242
↖ ↑ ↗
← S 49.759977°
W 20.050049°		 ← 394.60 m → S 49.759977°
W 20.044555°		 →
↑
394.56 m
↓
↑
394.56 m
↓
S 49.763526°
W 20.050049°		 ← 394.58 m →
155 688 m²		 S 49.763526°
W 20.044555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444313049316406 y=0.659828186035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444313049316406 × 216)
    floor (0.444313049316406 × 65536)
    floor (29118.5)     		tx = 29118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659828186035156 × 216)
    floor (0.659828186035156 × 65536)
    floor (43242.5)     		ty = 43242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29118 / 43242 ti = "16/29118/43242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29118/43242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29118 ÷ 216
    29118 ÷ 65536     		x = 0.444305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43242 ÷ 216
    43242 ÷ 65536     		y = 0.659820556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.11138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34993937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659820556640625 × 2 - 1) × π
    -0.31964111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00418217324094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34993937} λ = -0.34993937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00418217324094))-π/2
    2×atan(0.366344118347505)-π/2
    2×0.351160441656682-π/2
    0.702320883313365-1.57079632675     		φ = -0.86847544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34993937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.050049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86847544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.759977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29118 KachelY 43242 -0.34993937 -0.86847544 -20.050049 -49.759977
    Oben rechts KachelX + 1 29119 KachelY 43242 -0.34984349 -0.86847544 -20.044555 -49.759977
    Unten links KachelX 29118 KachelY + 1 43243 -0.34993937 -0.86853737 -20.050049 -49.763526
    Unten rechts KachelX + 1 29119 KachelY + 1 43243 -0.34984349 -0.86853737 -20.044555 -49.763526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86847544--0.86853737) × R
    6.19299999999878e-05 × 6371000     		dl = 394.556029999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86847544--0.86853737) × R
    6.19299999999878e-05 × 6371000     		dr = 394.556029999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34993937--0.34984349) × cos(-0.86847544) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.645991062733224 × 6371000     		do = 394.604596737561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34993937--0.34984349) × cos(-0.86853737) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.645943787540321 × 6371000     		du = 394.575718616009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86847544)-sin(-0.86853737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645991062733224-0.645943787540321)×R²
    abs(-0.34984349--0.34993937)×4.72751929024851e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.72751929024851e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.72751929024851e-05×40589641000000     		ar = 155687.926139467m²