Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29117 / 42762
↖ ↑ ↗
← S 48.026672°
W 20.055542°		 ← 408.49 m → S 48.026672°
W 20.050049°		 →
↑
408.51 m
↓
↑
408.51 m
↓
S 48.030346°
W 20.055542°		 ← 408.46 m →
166 864 m²		 S 48.030346°
W 20.050049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444297790527344 y=0.652503967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444297790527344 × 216)
    floor (0.444297790527344 × 65536)
    floor (29117.5)     		tx = 29117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652503967285156 × 216)
    floor (0.652503967285156 × 65536)
    floor (42762.5)     		ty = 42762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29117 / 42762 ti = "16/29117/42762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29117/42762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29117 ÷ 216
    29117 ÷ 65536     		x = 0.444290161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42762 ÷ 216
    42762 ÷ 65536     		y = 0.652496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444290161132812 × 2 - 1) × π
    -0.111419677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35003524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.30499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.958162749605682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35003524} λ = -0.35003524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958162749605682))-π/2
    2×atan(0.383597002702157)-π/2
    2×0.36628638411342-π/2
    0.73257276822684-1.57079632675     		φ = -0.83822356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35003524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.055542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83822356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.026672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29117 KachelY 42762 -0.35003524 -0.83822356 -20.055542 -48.026672
    Oben rechts KachelX + 1 29118 KachelY 42762 -0.34993937 -0.83822356 -20.050049 -48.026672
    Unten links KachelX 29117 KachelY + 1 42763 -0.35003524 -0.83828768 -20.055542 -48.030346
    Unten rechts KachelX + 1 29118 KachelY + 1 42763 -0.34993937 -0.83828768 -20.050049 -48.030346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83822356--0.83828768) × R
    6.41200000000008e-05 × 6371000     		dl = 408.508520000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83822356--0.83828768) × R
    6.41200000000008e-05 × 6371000     		dr = 408.508520000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35003524--0.34993937) × cos(-0.83822356) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668784585800624 × 6371000     		do = 408.485445771528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35003524--0.34993937) × cos(-0.83828768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668736914011865 × 6371000     		du = 408.45632842598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83822356)-sin(-0.83828768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668784585800624-0.668736914011865)×R²
    abs(-0.34993937--0.35003524)×4.76717887586409e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76717887586409e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76717887586409e-05×40589641000000     		ar = 166863.837609114m²