Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29116 / 43237
↖ ↑ ↗
← S 49.742232°
W 20.061035°		 ← 394.71 m → S 49.742232°
W 20.055542°		 →
↑
394.68 m
↓
↑
394.68 m
↓
S 49.745781°
W 20.061035°		 ← 394.68 m →
155 779 m²		 S 49.745781°
W 20.055542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444282531738281 y=0.659751892089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444282531738281 × 216)
    floor (0.444282531738281 × 65536)
    floor (29116.5)     		tx = 29116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659751892089844 × 216)
    floor (0.659751892089844 × 65536)
    floor (43237.5)     		ty = 43237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29116 / 43237 ti = "16/29116/43237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29116/43237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29116 ÷ 216
    29116 ÷ 65536     		x = 0.44427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43237 ÷ 216
    43237 ÷ 65536     		y = 0.659744262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.1114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35013111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659744262695312 × 2 - 1) × π
    -0.319488525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00370280424474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35013111} λ = -0.35013111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00370280424474))-π/2
    2×atan(0.366519774458465)-π/2
    2×0.351315304029413-π/2
    0.702630608058826-1.57079632675     		φ = -0.86816572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35013111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.061035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86816572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.742232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29116 KachelY 43237 -0.35013111 -0.86816572 -20.061035 -49.742232
    Oben rechts KachelX + 1 29117 KachelY 43237 -0.35003524 -0.86816572 -20.055542 -49.742232
    Unten links KachelX 29116 KachelY + 1 43238 -0.35013111 -0.86822767 -20.061035 -49.745781
    Unten rechts KachelX + 1 29117 KachelY + 1 43238 -0.35003524 -0.86822767 -20.055542 -49.745781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86816572--0.86822767) × R
    6.19499999999773e-05 × 6371000     		dl = 394.683449999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86816572--0.86822767) × R
    6.19499999999773e-05 × 6371000     		dr = 394.683449999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35013111--0.35003524) × cos(-0.86816572) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.646227454950468 × 6371000     		do = 394.707826121963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35013111--0.35003524) × cos(-0.86822767) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64618017688641 × 6371000     		du = 394.678949258647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86816572)-sin(-0.86822767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646227454950468-0.64618017688641)×R²
    abs(-0.35003524--0.35013111)×4.72780640577986e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72780640577986e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72780640577986e-05×40589641000000     		ar = 155778.947995512m²