Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29116 / 43020
↖ ↑ ↗
← S 48.965794°
W 20.061035°		 ← 400.99 m → S 48.965794°
W 20.055542°		 →
↑
400.99 m
↓
↑
400.99 m
↓
S 48.969400°
W 20.061035°		 ← 400.96 m →
160 787 m²		 S 48.969400°
W 20.055542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444282531738281 y=0.656440734863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444282531738281 × 216)
    floor (0.444282531738281 × 65536)
    floor (29116.5)     		tx = 29116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656440734863281 × 216)
    floor (0.656440734863281 × 65536)
    floor (43020.5)     		ty = 43020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29116 / 43020 ti = "16/29116/43020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29116/43020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29116 ÷ 216
    29116 ÷ 65536     		x = 0.44427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43020 ÷ 216
    43020 ÷ 65536     		y = 0.65643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.1114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35013111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65643310546875 × 2 - 1) × π
    -0.3128662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.982898189809631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35013111} λ = -0.35013111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982898189809631))-π/2
    2×atan(0.374224950741218)-π/2
    2×0.358091001947855-π/2
    0.716182003895711-1.57079632675     		φ = -0.85461432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35013111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.061035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85461432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.965794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29116 KachelY 43020 -0.35013111 -0.85461432 -20.061035 -48.965794
    Oben rechts KachelX + 1 29117 KachelY 43020 -0.35003524 -0.85461432 -20.055542 -48.965794
    Unten links KachelX 29116 KachelY + 1 43021 -0.35013111 -0.85467726 -20.061035 -48.969400
    Unten rechts KachelX + 1 29117 KachelY + 1 43021 -0.35003524 -0.85467726 -20.055542 -48.969400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85461432--0.85467726) × R
    6.29399999999558e-05 × 6371000     		dl = 400.990739999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85461432--0.85467726) × R
    6.29399999999558e-05 × 6371000     		dr = 400.990739999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35013111--0.35003524) × cos(-0.85461432) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656509483836576 × 6371000     		do = 400.987963616385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35013111--0.35003524) × cos(-0.85467726) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656462005775822 × 6371000     		du = 400.958964597533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85461432)-sin(-0.85467726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656509483836576-0.656462005775822)×R²
    abs(-0.35003524--0.35013111)×4.74780607540026e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74780607540026e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74780607540026e-05×40589641000000     		ar = 160786.646145576m²