Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29114 / 18007
↖ ↑ ↗
← N 62.696829°
W 20.072021°		 ← 280.17 m → N 62.696829°
W 20.066528°		 →
↑
280.20 m
↓
↑
280.20 m
↓
N 62.694309°
W 20.072021°		 ← 280.19 m →
78 505 m²		 N 62.694309°
W 20.066528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444252014160156 y=0.274772644042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444252014160156 × 216)
    floor (0.444252014160156 × 65536)
    floor (29114.5)     		tx = 29114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274772644042969 × 216)
    floor (0.274772644042969 × 65536)
    floor (18007.5)     		ty = 18007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29114 / 18007 ti = "16/29114/18007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29114/18007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29114 ÷ 216
    29114 ÷ 65536     		x = 0.444244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18007 ÷ 216
    18007 ÷ 65536     		y = 0.274765014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.11151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35032286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274765014648438 × 2 - 1) × π
    0.450469970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4151931505833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35032286} λ = -0.35032286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4151931505833))-π/2
    2×atan(4.11728164452743)-π/2
    2×1.33253121525672-π/2
    2.66506243051345-1.57079632675     		φ = 1.09426610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35032286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.072021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09426610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.696829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29114 KachelY 18007 -0.35032286 1.09426610 -20.072021 62.696829
    Oben rechts KachelX + 1 29115 KachelY 18007 -0.35022699 1.09426610 -20.066528 62.696829
    Unten links KachelX 29114 KachelY + 1 18008 -0.35032286 1.09422212 -20.072021 62.694309
    Unten rechts KachelX + 1 29115 KachelY + 1 18008 -0.35022699 1.09422212 -20.066528 62.694309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09426610-1.09422212) × R
    4.39800000000545e-05 × 6371000     		dl = 280.196580000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09426610-1.09422212) × R
    4.39800000000545e-05 × 6371000     		dr = 280.196580000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35032286--0.35022699) × cos(1.09426610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458698730748621 × 6371000     		do = 280.167574855775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35032286--0.35022699) × cos(1.09422212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458737810574518 × 6371000     		du = 280.191444335486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09426610)-sin(1.09422212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458698730748621-0.458737810574518)×R²
    abs(-0.35022699--0.35032286)×3.90798258970704e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90798258970704e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90798258970704e-05×40589641000000     		ar = 78505.3403878192m²