Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29113 / 42777
↖ ↑ ↗
← S 48.081749°
W 20.077515°		 ← 408.09 m → S 48.081749°
W 20.072021°		 →
↑
408.06 m
↓
↑
408.06 m
↓
S 48.085419°
W 20.077515°		 ← 408.06 m →
166 521 m²		 S 48.085419°
W 20.072021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444236755371094 y=0.652732849121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444236755371094 × 216)
    floor (0.444236755371094 × 65536)
    floor (29113.5)     		tx = 29113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652732849121094 × 216)
    floor (0.652732849121094 × 65536)
    floor (42777.5)     		ty = 42777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29113 / 42777 ti = "16/29113/42777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29113/42777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29113 ÷ 216
    29113 ÷ 65536     		x = 0.444229125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42777 ÷ 216
    42777 ÷ 65536     		y = 0.652725219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444229125976562 × 2 - 1) × π
    -0.111541748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35041874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652725219726562 × 2 - 1) × π
    -0.305450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.959600856594284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35041874} λ = -0.35041874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959600856594284))-π/2
    2×atan(0.383045745650081)-π/2
    2×0.365805749279245-π/2
    0.73161149855849-1.57079632675     		φ = -0.83918483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35041874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.077515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83918483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.081749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29113 KachelY 42777 -0.35041874 -0.83918483 -20.077515 -48.081749
    Oben rechts KachelX + 1 29114 KachelY 42777 -0.35032286 -0.83918483 -20.072021 -48.081749
    Unten links KachelX 29113 KachelY + 1 42778 -0.35041874 -0.83924888 -20.077515 -48.085419
    Unten rechts KachelX + 1 29114 KachelY + 1 42778 -0.35032286 -0.83924888 -20.072021 -48.085419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83918483--0.83924888) × R
    6.40499999999822e-05 × 6371000     		dl = 408.062549999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83918483--0.83924888) × R
    6.40499999999822e-05 × 6371000     		dr = 408.062549999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35041874--0.35032286) × cos(-0.83918483) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.668069614740966 × 6371000     		do = 408.091312907518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35041874--0.35032286) × cos(-0.83924888) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.66802195384399 × 6371000     		du = 408.062199178061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83918483)-sin(-0.83924888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668069614740966-0.66802195384399)×R²
    abs(-0.35032286--0.35041874)×4.7660896976387e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7660896976387e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7660896976387e-05×40589641000000     		ar = 166520.841723196m²