Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29113 / 18006
↖ ↑ ↗
← N 62.699349°
W 20.077515°		 ← 280.17 m → N 62.699349°
W 20.072021°		 →
↑
280.20 m
↓
↑
280.20 m
↓
N 62.696829°
W 20.077515°		 ← 280.20 m →
78 507 m²		 N 62.696829°
W 20.072021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444236755371094 y=0.274757385253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444236755371094 × 216)
    floor (0.444236755371094 × 65536)
    floor (29113.5)     		tx = 29113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274757385253906 × 216)
    floor (0.274757385253906 × 65536)
    floor (18006.5)     		ty = 18006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29113 / 18006 ti = "16/29113/18006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29113/18006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29113 ÷ 216
    29113 ÷ 65536     		x = 0.444229125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18006 ÷ 216
    18006 ÷ 65536     		y = 0.274749755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444229125976562 × 2 - 1) × π
    -0.111541748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35041874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274749755859375 × 2 - 1) × π
    0.45050048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.41528902438254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35041874} λ = -0.35041874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41528902438254))-π/2
    2×atan(4.11767640288442)-π/2
    2×1.33255320291496-π/2
    2.66510640582992-1.57079632675     		φ = 1.09431008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35041874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.077515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09431008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.699349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29113 KachelY 18006 -0.35041874 1.09431008 -20.077515 62.699349
    Oben rechts KachelX + 1 29114 KachelY 18006 -0.35032286 1.09431008 -20.072021 62.699349
    Unten links KachelX 29113 KachelY + 1 18007 -0.35041874 1.09426610 -20.077515 62.696829
    Unten rechts KachelX + 1 29114 KachelY + 1 18007 -0.35032286 1.09426610 -20.072021 62.696829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09431008-1.09426610) × R
    4.39800000000545e-05 × 6371000     		dl = 280.196580000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09431008-1.09426610) × R
    4.39800000000545e-05 × 6371000     		dr = 280.196580000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35041874--0.35032286) × cos(1.09431008) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.45865965003549 × 6371000     		do = 280.17292604044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35041874--0.35032286) × cos(1.09426610) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.458698730748621 × 6371000     		du = 280.196798551895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09431008)-sin(1.09426610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45865965003549-0.458698730748621)×R²
    abs(-0.35032286--0.35041874)×3.90807131307458e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.90807131307458e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.90807131307458e-05×40589641000000     		ar = 78506.8401957727m²