Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29112 / 43289
↖ ↑ ↗
← S 49.926472°
W 20.083008°		 ← 393.21 m → S 49.926472°
W 20.077515°		 →
↑
393.22 m
↓
↑
393.22 m
↓
S 49.930008°
W 20.083008°		 ← 393.18 m →
154 610 m²		 S 49.930008°
W 20.077515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444221496582031 y=0.660545349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444221496582031 × 216)
    floor (0.444221496582031 × 65536)
    floor (29112.5)     		tx = 29112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660545349121094 × 216)
    floor (0.660545349121094 × 65536)
    floor (43289.5)     		ty = 43289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29112 / 43289 ti = "16/29112/43289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29112/43289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29112 ÷ 216
    29112 ÷ 65536     		x = 0.4442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43289 ÷ 216
    43289 ÷ 65536     		y = 0.660537719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35051461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660537719726562 × 2 - 1) × π
    -0.321075439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00868824180522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35051461} λ = -0.35051461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00868824180522))-π/2
    2×atan(0.364697060297272)-π/2
    2×0.349707503958834-π/2
    0.699415007917669-1.57079632675     		φ = -0.87138132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35051461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.083008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87138132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.926472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29112 KachelY 43289 -0.35051461 -0.87138132 -20.083008 -49.926472
    Oben rechts KachelX + 1 29113 KachelY 43289 -0.35041874 -0.87138132 -20.077515 -49.926472
    Unten links KachelX 29112 KachelY + 1 43290 -0.35051461 -0.87144304 -20.083008 -49.930008
    Unten rechts KachelX + 1 29113 KachelY + 1 43290 -0.35041874 -0.87144304 -20.077515 -49.930008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87138132--0.87144304) × R
    6.17199999999318e-05 × 6371000     		dl = 393.218119999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87138132--0.87144304) × R
    6.17199999999318e-05 × 6371000     		dr = 393.218119999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35051461--0.35041874) × cos(-0.87138132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.643770149549538 × 6371000     		do = 393.20693403592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35051461--0.35041874) × cos(-0.87144304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.643722919011689 × 6371000     		du = 393.178086201032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87138132)-sin(-0.87144304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643770149549538-0.643722919011689)×R²
    abs(-0.35041874--0.35051461)×4.72305378486082e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72305378486082e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72305378486082e-05×40589641000000     		ar = 154610.419675934m²