Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29112 / 42936
↖ ↑ ↗
← S 48.661943°
W 20.083008°		 ← 403.43 m → S 48.661943°
W 20.077515°		 →
↑
403.48 m
↓
↑
403.48 m
↓
S 48.665571°
W 20.083008°		 ← 403.40 m →
162 766 m²		 S 48.665571°
W 20.077515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444221496582031 y=0.655158996582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444221496582031 × 216)
    floor (0.444221496582031 × 65536)
    floor (29112.5)     		tx = 29112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655158996582031 × 216)
    floor (0.655158996582031 × 65536)
    floor (42936.5)     		ty = 42936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29112 / 42936 ti = "16/29112/42936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29112/42936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29112 ÷ 216
    29112 ÷ 65536     		x = 0.4442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42936 ÷ 216
    42936 ÷ 65536     		y = 0.6551513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35051461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6551513671875 × 2 - 1) × π
    -0.310302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.974844790673462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35051461} λ = -0.35051461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974844790673462))-π/2
    2×atan(0.377250901877833)-π/2
    2×0.360742601866039-π/2
    0.721485203732077-1.57079632675     		φ = -0.84931112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35051461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.083008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84931112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.661943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29112 KachelY 42936 -0.35051461 -0.84931112 -20.083008 -48.661943
    Oben rechts KachelX + 1 29113 KachelY 42936 -0.35041874 -0.84931112 -20.077515 -48.661943
    Unten links KachelX 29112 KachelY + 1 42937 -0.35051461 -0.84937445 -20.083008 -48.665571
    Unten rechts KachelX + 1 29113 KachelY + 1 42937 -0.35041874 -0.84937445 -20.077515 -48.665571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84931112--0.84937445) × R
    6.33300000000281e-05 × 6371000     		dl = 403.475430000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84931112--0.84937445) × R
    6.33300000000281e-05 × 6371000     		dr = 403.475430000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35051461--0.35041874) × cos(-0.84931112) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660500531290181 × 6371000     		do = 403.425646590536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35051461--0.35041874) × cos(-0.84937445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660452980181844 × 6371000     		du = 403.396602955114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84931112)-sin(-0.84937445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660500531290181-0.660452980181844)×R²
    abs(-0.35041874--0.35051461)×4.7551108336652e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7551108336652e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7551108336652e-05×40589641000000     		ar = 162766.477088787m²