Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29111 / 43295
↖ ↑ ↗
← S 49.947685°
W 20.088501°		 ← 393.03 m → S 49.947685°
W 20.083008°		 →
↑
393.03 m
↓
↑
393.03 m
↓
S 49.951220°
W 20.088501°		 ← 393.01 m →
154 467 m²		 S 49.951220°
W 20.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444206237792969 y=0.660636901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444206237792969 × 216)
    floor (0.444206237792969 × 65536)
    floor (29111.5)     		tx = 29111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660636901855469 × 216)
    floor (0.660636901855469 × 65536)
    floor (43295.5)     		ty = 43295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29111 / 43295 ti = "16/29111/43295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29111/43295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29111 ÷ 216
    29111 ÷ 65536     		x = 0.444198608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43295 ÷ 216
    43295 ÷ 65536     		y = 0.660629272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444198608398438 × 2 - 1) × π
    -0.111602783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35061048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660629272460938 × 2 - 1) × π
    -0.321258544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00926348460066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35061048} λ = -0.35061048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00926348460066))-π/2
    2×atan(0.364487331269157)-π/2
    2×0.349522382639552-π/2
    0.699044765279103-1.57079632675     		φ = -0.87175156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35061048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.088501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87175156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.947685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29111 KachelY 43295 -0.35061048 -0.87175156 -20.088501 -49.947685
    Oben rechts KachelX + 1 29112 KachelY 43295 -0.35051461 -0.87175156 -20.083008 -49.947685
    Unten links KachelX 29111 KachelY + 1 43296 -0.35061048 -0.87181325 -20.088501 -49.951220
    Unten rechts KachelX + 1 29112 KachelY + 1 43296 -0.35051461 -0.87181325 -20.083008 -49.951220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87175156--0.87181325) × R
    6.16900000000031e-05 × 6371000     		dl = 393.02699000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87175156--0.87181325) × R
    6.16900000000031e-05 × 6371000     		dr = 393.02699000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35061048--0.35051461) × cos(-0.87175156) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.643486790780054 × 6371000     		do = 393.033861964997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35061048--0.35051461) × cos(-0.87181325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.643439568499962 × 6371000     		du = 393.005019173845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87175156)-sin(-0.87181325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643486790780054-0.643439568499962)×R²
    abs(-0.35051461--0.35061048)×4.72222800925737e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72222800925737e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72222800925737e-05×40589641000000     		ar = 154467.247787188m²