Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29111 / 43287
↖ ↑ ↗
← S 49.919399°
W 20.088501°		 ← 393.26 m → S 49.919399°
W 20.083008°		 →
↑
393.28 m
↓
↑
393.28 m
↓
S 49.922936°
W 20.088501°		 ← 393.24 m →
154 658 m²		 S 49.922936°
W 20.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444206237792969 y=0.660514831542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444206237792969 × 216)
    floor (0.444206237792969 × 65536)
    floor (29111.5)     		tx = 29111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660514831542969 × 216)
    floor (0.660514831542969 × 65536)
    floor (43287.5)     		ty = 43287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29111 / 43287 ti = "16/29111/43287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29111/43287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29111 ÷ 216
    29111 ÷ 65536     		x = 0.444198608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43287 ÷ 216
    43287 ÷ 65536     		y = 0.660507202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444198608398438 × 2 - 1) × π
    -0.111602783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35061048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660507202148438 × 2 - 1) × π
    -0.321014404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00849649420674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35061048} λ = -0.35061048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00849649420674))-π/2
    2×atan(0.364766996787619)-π/2
    2×0.34976922917716-π/2
    0.699538458354321-1.57079632675     		φ = -0.87125787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35061048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.088501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87125787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.919399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29111 KachelY 43287 -0.35061048 -0.87125787 -20.088501 -49.919399
    Oben rechts KachelX + 1 29112 KachelY 43287 -0.35051461 -0.87125787 -20.083008 -49.919399
    Unten links KachelX 29111 KachelY + 1 43288 -0.35061048 -0.87131960 -20.088501 -49.922936
    Unten rechts KachelX + 1 29112 KachelY + 1 43288 -0.35051461 -0.87131960 -20.083008 -49.922936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87125787--0.87131960) × R
    6.17299999999821e-05 × 6371000     		dl = 393.281829999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87125787--0.87131960) × R
    6.17299999999821e-05 × 6371000     		dr = 393.281829999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35061048--0.35051461) × cos(-0.87125787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.643864610919396 × 6371000     		do = 393.264629885367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35061048--0.35051461) × cos(-0.87131960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.643817377635035 × 6371000     		du = 393.235780372942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87125787)-sin(-0.87131960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643864610919396-0.643817377635035)×R²
    abs(-0.35051461--0.35061048)×4.7233284360626e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7233284360626e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7233284360626e-05×40589641000000     		ar = 154658.160369999m²