Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29110 / 43294
↖ ↑ ↗
← S 49.944151°
W 20.093994°		 ← 393.10 m → S 49.944151°
W 20.088501°		 →
↑
393.03 m
↓
↑
393.03 m
↓
S 49.947685°
W 20.093994°		 ← 393.07 m →
154 495 m²		 S 49.947685°
W 20.088501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444190979003906 y=0.660621643066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444190979003906 × 216)
    floor (0.444190979003906 × 65536)
    floor (29110.5)     		tx = 29110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660621643066406 × 216)
    floor (0.660621643066406 × 65536)
    floor (43294.5)     		ty = 43294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29110 / 43294 ti = "16/29110/43294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29110/43294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29110 ÷ 216
    29110 ÷ 65536     		x = 0.444183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43294 ÷ 216
    43294 ÷ 65536     		y = 0.660614013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.11163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35070636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660614013671875 × 2 - 1) × π
    -0.32122802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00916761080142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35070636} λ = -0.35070636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00916761080142))-π/2
    2×atan(0.364522277729579)-π/2
    2×0.349553230533081-π/2
    0.699106461066162-1.57079632675     		φ = -0.87168987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35070636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.093994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87168987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.944151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29110 KachelY 43294 -0.35070636 -0.87168987 -20.093994 -49.944151
    Oben rechts KachelX + 1 29111 KachelY 43294 -0.35061048 -0.87168987 -20.088501 -49.944151
    Unten links KachelX 29110 KachelY + 1 43295 -0.35070636 -0.87175156 -20.093994 -49.947685
    Unten rechts KachelX + 1 29111 KachelY + 1 43295 -0.35061048 -0.87175156 -20.088501 -49.947685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87168987--0.87175156) × R
    6.16900000000031e-05 × 6371000     		dl = 393.02699000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87168987--0.87175156) × R
    6.16900000000031e-05 × 6371000     		dr = 393.02699000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35070636--0.35061048) × cos(-0.87168987) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.643534010611257 × 6371000     		do = 393.103702812192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35070636--0.35061048) × cos(-0.87175156) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.643486790780054 × 6371000     		du = 393.074858508416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87168987)-sin(-0.87175156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643534010611257-0.643486790780054)×R²
    abs(-0.35061048--0.35070636)×4.72198312031491e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72198312031491e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72198312031491e-05×40589641000000     		ar = 154494.696828232m²