Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29110 / 43277
↖ ↑ ↗
← S 49.884017°
W 20.093994°		 ← 393.59 m → S 49.884017°
W 20.088501°		 →
↑
393.60 m
↓
↑
393.60 m
↓
S 49.887557°
W 20.093994°		 ← 393.57 m →
154 913 m²		 S 49.887557°
W 20.088501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444190979003906 y=0.660362243652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444190979003906 × 216)
    floor (0.444190979003906 × 65536)
    floor (29110.5)     		tx = 29110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660362243652344 × 216)
    floor (0.660362243652344 × 65536)
    floor (43277.5)     		ty = 43277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29110 / 43277 ti = "16/29110/43277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29110/43277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29110 ÷ 216
    29110 ÷ 65536     		x = 0.444183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43277 ÷ 216
    43277 ÷ 65536     		y = 0.660354614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.11163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35070636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660354614257812 × 2 - 1) × π
    -0.320709228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00753775621434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35070636} λ = -0.35070636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00753775621434))-π/2
    2×atan(0.365116880462399)-π/2
    2×0.35007799112548-π/2
    0.70015598225096-1.57079632675     		φ = -0.87064034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35070636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.093994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87064034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.884017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29110 KachelY 43277 -0.35070636 -0.87064034 -20.093994 -49.884017
    Oben rechts KachelX + 1 29111 KachelY 43277 -0.35061048 -0.87064034 -20.088501 -49.884017
    Unten links KachelX 29110 KachelY + 1 43278 -0.35070636 -0.87070212 -20.093994 -49.887557
    Unten rechts KachelX + 1 29111 KachelY + 1 43278 -0.35061048 -0.87070212 -20.088501 -49.887557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87064034--0.87070212) × R
    6.17800000000113e-05 × 6371000     		dl = 393.600380000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87064034--0.87070212) × R
    6.17800000000113e-05 × 6371000     		dr = 393.600380000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35070636--0.35061048) × cos(-0.87064034) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.64433698468109 × 6371000     		do = 393.594200711151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35070636--0.35061048) × cos(-0.87070212) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.64428973770996 × 6371000     		du = 393.565339828911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87064034)-sin(-0.87070212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64433698468109-0.64428973770996)×R²
    abs(-0.35061048--0.35070636)×4.72469711296775e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72469711296775e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72469711296775e-05×40589641000000     		ar = 154913.147188083m²