Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29110 / 42709
↖ ↑ ↗
← S 47.831596°
W 20.093994°		 ← 410.07 m → S 47.831596°
W 20.088501°		 →
↑
409.97 m
↓
↑
409.97 m
↓
S 47.835283°
W 20.093994°		 ← 410.04 m →
168 113 m²		 S 47.835283°
W 20.088501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444190979003906 y=0.651695251464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444190979003906 × 216)
    floor (0.444190979003906 × 65536)
    floor (29110.5)     		tx = 29110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651695251464844 × 216)
    floor (0.651695251464844 × 65536)
    floor (42709.5)     		ty = 42709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29110 / 42709 ti = "16/29110/42709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29110/42709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29110 ÷ 216
    29110 ÷ 65536     		x = 0.444183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42709 ÷ 216
    42709 ÷ 65536     		y = 0.651687622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.11163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35070636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651687622070312 × 2 - 1) × π
    -0.303375244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.953081438245956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35070636} λ = -0.35070636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953081438245956))-π/2
    2×atan(0.38555113909266)-π/2
    2×0.367988745701824-π/2
    0.735977491403647-1.57079632675     		φ = -0.83481884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35070636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.093994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83481884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.831596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29110 KachelY 42709 -0.35070636 -0.83481884 -20.093994 -47.831596
    Oben rechts KachelX + 1 29111 KachelY 42709 -0.35061048 -0.83481884 -20.088501 -47.831596
    Unten links KachelX 29110 KachelY + 1 42710 -0.35070636 -0.83488319 -20.093994 -47.835283
    Unten rechts KachelX + 1 29111 KachelY + 1 42710 -0.35061048 -0.83488319 -20.088501 -47.835283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83481884--0.83488319) × R
    6.43500000000463e-05 × 6371000     		dl = 409.973850000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83481884--0.83488319) × R
    6.43500000000463e-05 × 6371000     		dr = 409.973850000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35070636--0.35061048) × cos(-0.83481884) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.6713119649215 × 6371000     		do = 410.071907313975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35070636--0.35061048) × cos(-0.83488319) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.671264268926213 × 6371000     		du = 410.042772144664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83481884)-sin(-0.83488319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6713119649215-0.671264268926213)×R²
    abs(-0.35061048--0.35070636)×4.76959952876443e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76959952876443e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76959952876443e-05×40589641000000     		ar = 168112.786347683m²