Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29110 / 14122
↖ ↑ ↗
← N 70.999083°
W 20.093994°		 ← 198.88 m → N 70.999083°
W 20.088501°		 →
↑
198.84 m
↓
↑
198.84 m
↓
N 70.997295°
W 20.093994°		 ← 198.90 m →
39 547 m²		 N 70.997295°
W 20.088501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444190979003906 y=0.215492248535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444190979003906 × 216)
    floor (0.444190979003906 × 65536)
    floor (29110.5)     		tx = 29110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215492248535156 × 216)
    floor (0.215492248535156 × 65536)
    floor (14122.5)     		ty = 14122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29110 / 14122 ti = "16/29110/14122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29110/14122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29110 ÷ 216
    29110 ÷ 65536     		x = 0.444183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14122 ÷ 216
    14122 ÷ 65536     		y = 0.215484619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.11163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35070636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215484619140625 × 2 - 1) × π
    0.56903076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78766286063113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35070636} λ = -0.35070636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78766286063113))-π/2
    2×atan(5.9754706263447)-π/2
    2×1.40498204583808-π/2
    2.80996409167617-1.57079632675     		φ = 1.23916776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35070636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.093994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23916776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.999083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29110 KachelY 14122 -0.35070636 1.23916776 -20.093994 70.999083
    Oben rechts KachelX + 1 29111 KachelY 14122 -0.35061048 1.23916776 -20.088501 70.999083
    Unten links KachelX 29110 KachelY + 1 14123 -0.35070636 1.23913655 -20.093994 70.997295
    Unten rechts KachelX + 1 29111 KachelY + 1 14123 -0.35061048 1.23913655 -20.088501 70.997295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23916776-1.23913655) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dl = 198.83890999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23916776-1.23913655) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dr = 198.83890999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35070636--0.35061048) × cos(1.23916776) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.325583291142865 × 6371000     		do = 198.883035257875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35070636--0.35061048) × cos(1.23913655) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.325612800456366 × 6371000     		du = 198.9010610657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23916776)-sin(1.23913655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325583291142865-0.325612800456366)×R²
    abs(-0.35061048--0.35070636)×2.95093135000424e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.95093135000424e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.95093135000424e-05×40589641000000     		ar = 39547.4780674139m²