Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2911 / 3465
↖ ↑ ↗
← N 26.706360°
W 52.075195°		 ← 4 365.21 m → N 26.706360°
W 52.031250°		 →
↑
4 365.98 m
↓
↑
4 365.98 m
↓
N 26.667096°
W 52.075195°		 ← 4 366.71 m →
19 061 713 m²		 N 26.667096°
W 52.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35540771484375 y=0.42303466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35540771484375 × 213)
    floor (0.35540771484375 × 8192)
    floor (2911.5)     		tx = 2911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42303466796875 × 213)
    floor (0.42303466796875 × 8192)
    floor (3465.5)     		ty = 3465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2911 / 3465 ti = "13/2911/3465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2911/3465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2911 ÷ 213
    2911 ÷ 8192     		x = 0.3553466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3465 ÷ 213
    3465 ÷ 8192     		y = 0.4229736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3553466796875 × 2 - 1) × π
    -0.289306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.90888362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4229736328125 × 2 - 1) × π
    0.154052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.483970938564087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90888362} λ = -0.90888362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483970938564087))-π/2
    2×atan(1.62250449265677)-π/2
    2×1.01845511876034-π/2
    2.03691023752069-1.57079632675     		φ = 0.46611391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90888362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46611391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.706360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2911 KachelY 3465 -0.90888362 0.46611391 -52.075195 26.706360
    Oben rechts KachelX + 1 2912 KachelY 3465 -0.90811663 0.46611391 -52.031250 26.706360
    Unten links KachelX 2911 KachelY + 1 3466 -0.90888362 0.46542862 -52.075195 26.667096
    Unten rechts KachelX + 1 2912 KachelY + 1 3466 -0.90811663 0.46542862 -52.031250 26.667096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46611391-0.46542862) × R
    0.000685290000000005 × 6371000     		dl = 4365.98259000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46611391-0.46542862) × R
    0.000685290000000005 × 6371000     		dr = 4365.98259000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90888362--0.90811663) × cos(0.46611391) × R
    0.000766990000000023 × 0.893321508542434 × 6371000     		do = 4365.20955730541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90888362--0.90811663) × cos(0.46542862) × R
    0.000766990000000023 × 0.89362928052719 × 6371000     		du = 4366.71348304377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46611391)-sin(0.46542862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893321508542434-0.89362928052719)×R²
    abs(-0.90811663--0.90888362)×0.000307771984756622×R²
    0.000766990000000023×0.000307771984756622×6371000²
    0.000766990000000023×0.000307771984756622×40589641000000     		ar = 19061712.7316757m²