Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29108 / 43318
↖ ↑ ↗
← S 50.028917°
W 20.104981°		 ← 392.41 m → S 50.028917°
W 20.099487°		 →
↑
392.33 m
↓
↑
392.33 m
↓
S 50.032445°
W 20.104981°		 ← 392.38 m →
153 948 m²		 S 50.032445°
W 20.099487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444160461425781 y=0.660987854003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444160461425781 × 216)
    floor (0.444160461425781 × 65536)
    floor (29108.5)     		tx = 29108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660987854003906 × 216)
    floor (0.660987854003906 × 65536)
    floor (43318.5)     		ty = 43318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29108 / 43318 ti = "16/29108/43318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29108/43318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29108 ÷ 216
    29108 ÷ 65536     		x = 0.44415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43318 ÷ 216
    43318 ÷ 65536     		y = 0.660980224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35089811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660980224609375 × 2 - 1) × π
    -0.32196044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01146858198318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35089811} λ = -0.35089811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01146858198318))-π/2
    2×atan(0.363684486709547)-π/2
    2×0.348813505787242-π/2
    0.697627011574484-1.57079632675     		φ = -0.87316932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35089811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.104981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87316932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.028917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29108 KachelY 43318 -0.35089811 -0.87316932 -20.104981 -50.028917
    Oben rechts KachelX + 1 29109 KachelY 43318 -0.35080223 -0.87316932 -20.099487 -50.028917
    Unten links KachelX 29108 KachelY + 1 43319 -0.35089811 -0.87323090 -20.104981 -50.032445
    Unten rechts KachelX + 1 29109 KachelY + 1 43319 -0.35080223 -0.87323090 -20.099487 -50.032445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87316932--0.87323090) × R
    6.15800000000055e-05 × 6371000     		dl = 392.326180000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87316932--0.87323090) × R
    6.15800000000055e-05 × 6371000     		dr = 392.326180000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35089811--0.35080223) × cos(-0.87316932) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.64240090980245 × 6371000     		do = 392.411546506143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35089811--0.35080223) × cos(-0.87323090) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.642353715596426 × 6371000     		du = 392.382717855546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87316932)-sin(-0.87323090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64240090980245-0.642353715596426)×R²
    abs(-0.35080223--0.35089811)×4.71942060243924e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71942060243924e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71942060243924e-05×40589641000000     		ar = 153947.667959847m²