Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29108 / 43221
↖ ↑ ↗
← S 49.685401°
W 20.104981°		 ← 395.21 m → S 49.685401°
W 20.099487°		 →
↑
395.13 m
↓
↑
395.13 m
↓
S 49.688955°
W 20.104981°		 ← 395.18 m →
156 154 m²		 S 49.688955°
W 20.099487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444160461425781 y=0.659507751464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444160461425781 × 216)
    floor (0.444160461425781 × 65536)
    floor (29108.5)     		tx = 29108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659507751464844 × 216)
    floor (0.659507751464844 × 65536)
    floor (43221.5)     		ty = 43221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29108 / 43221 ti = "16/29108/43221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29108/43221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29108 ÷ 216
    29108 ÷ 65536     		x = 0.44415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43221 ÷ 216
    43221 ÷ 65536     		y = 0.659500122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35089811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659500122070312 × 2 - 1) × π
    -0.319000244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00216882345689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35089811} λ = -0.35089811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00216882345689))-π/2
    2×atan(0.367082440199733)-π/2
    2×0.351811244428705-π/2
    0.70362248885741-1.57079632675     		φ = -0.86717384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35089811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.104981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86717384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.685401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29108 KachelY 43221 -0.35089811 -0.86717384 -20.104981 -49.685401
    Oben rechts KachelX + 1 29109 KachelY 43221 -0.35080223 -0.86717384 -20.099487 -49.685401
    Unten links KachelX 29108 KachelY + 1 43222 -0.35089811 -0.86723586 -20.104981 -49.688955
    Unten rechts KachelX + 1 29109 KachelY + 1 43222 -0.35080223 -0.86723586 -20.099487 -49.688955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86717384--0.86723586) × R
    6.2019999999996e-05 × 6371000     		dl = 395.129419999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86717384--0.86723586) × R
    6.2019999999996e-05 × 6371000     		dr = 395.129419999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35089811--0.35080223) × cos(-0.86717384) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.646984085061879 × 6371000     		do = 395.211185896464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35089811--0.35080223) × cos(-0.86723586) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.646936793350283 × 6371000     		du = 395.182297684444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86717384)-sin(-0.86723586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646984085061879-0.646936793350283)×R²
    abs(-0.35080223--0.35089811)×4.72917115961202e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72917115961202e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72917115961202e-05×40589641000000     		ar = 156153.859419551m²