Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29108 / 14653
↖ ↑ ↗
← N 70.026217°
W 20.104981°		 ← 208.66 m → N 70.026217°
W 20.099487°		 →
↑
208.65 m
↓
↑
208.65 m
↓
N 70.024341°
W 20.104981°		 ← 208.68 m →
43 539 m²		 N 70.024341°
W 20.099487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444160461425781 y=0.223594665527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444160461425781 × 216)
    floor (0.444160461425781 × 65536)
    floor (29108.5)     		tx = 29108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223594665527344 × 216)
    floor (0.223594665527344 × 65536)
    floor (14653.5)     		ty = 14653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29108 / 14653 ti = "16/29108/14653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29108/14653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29108 ÷ 216
    29108 ÷ 65536     		x = 0.44415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14653 ÷ 216
    14653 ÷ 65536     		y = 0.223587036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35089811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223587036132812 × 2 - 1) × π
    0.552825927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73675387323463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35089811} λ = -0.35089811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73675387323463))-π/2
    2×atan(5.67887910866186)-π/2
    2×1.39649219064147-π/2
    2.79298438128294-1.57079632675     		φ = 1.22218805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35089811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.104981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22218805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.026217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29108 KachelY 14653 -0.35089811 1.22218805 -20.104981 70.026217
    Oben rechts KachelX + 1 29109 KachelY 14653 -0.35080223 1.22218805 -20.099487 70.026217
    Unten links KachelX 29108 KachelY + 1 14654 -0.35089811 1.22215530 -20.104981 70.024341
    Unten rechts KachelX + 1 29109 KachelY + 1 14654 -0.35080223 1.22215530 -20.099487 70.024341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22218805-1.22215530) × R
    3.27499999999148e-05 × 6371000     		dl = 208.650249999457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22218805-1.22215530) × R
    3.27499999999148e-05 × 6371000     		dr = 208.650249999457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35089811--0.35080223) × cos(1.22218805) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.341590128996563 × 6371000     		do = 208.660835850925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35089811--0.35080223) × cos(1.22215530) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.341620908868832 × 6371000     		du = 208.679637781455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22218805)-sin(1.22215530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341590128996563-0.341620908868832)×R²
    abs(-0.35080223--0.35089811)×3.07798722698482e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.07798722698482e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.07798722698482e-05×40589641000000     		ar = 43539.0970830891m²